Svako svojstvo simetrije sistema odgovara. Amalia (Emmy) Noether, kraljica bez krune

Prije tačno sto godina, na seminaru Getingenskog matematičkog društva, predstavljena je teorema, koja je vremenom postala najvažniji alat u matematičkoj i teorijskoj fizici. Svaku kontinuiranu simetriju fizičkog sistema povezuje sa određenim zakonom održanja (na primjer, ako su u izolovanom sistemu čestica procesi invarijantni u odnosu na vremenski pomak, onda je zakon održanja energije zadovoljen u ovom sistemu). Emmy Noether je dokazala ovu teoremu - i ovaj rezultat, zajedno sa najvažnijim radovima o apstraktnoj algebri koji su uslijedili, zasluženo omogućava mnogima da Noether smatraju najvećom ženom u historiji matematike.

Historijske asocijacije

Za početak, mala, ali poučna digresija od glavne teme. Šezdesetih godina dvadesetog veka, na sastanku sa studentima MSU, izuzetni moskovski matematičar Dmitrij Jevgenijevič Menšov govorio je o Moskovskoj matematičkoj školi:

« 1914. upisao sam Moskovski univerzitet. Nikolaj Nikolajevič Luzin je u to vreme bio u inostranstvu. Ali dogovorio se sa Dmitrijem Fedorovičem Jegorovim da će organizovati seminare za studente. A 1914. godine Dmitrij Fedorovič je organizovao takvu bogosloviju. Bio je posvećen numeričkim serijama. Sledeće godine Nikolaj Nikolajevič se vratio u Moskvu i počeo sam da vodi bogosloviju. 1915. radili smo na funkcionalnim redovima, a 1916. na ortogonalnim redovima.

A onda je došla hiljadu devetsto sedamnaest. Bila je to veoma nezaboravna godina u našim životima; te godine se desio najvažniji događaj koji je uticao na ceo naš budući život: počeli smo da učimo trigonometrijske serije... »

Dakle, za Menšova je glavni događaj 1917. bio prelazak na proučavanje trigonometrijskih nizova! Nije slučajno što ponekad tvrde da matematičari imaju donekle jedinstvenu percepciju svijeta oko sebe.

Profesori čuvenog Matematičkog fakulteta Univerziteta u Getingenu mogli su na sličan način da okarakterišu ono što se dogodilo krajem jula 1918. godine. Svijet se oko njih raspadao, iako to možda još nisu shvatili. Na Zapadnom frontu neslavno je završena Druga bitka na Marni - posljednja velika ofanziva Kajzerovih armija, koja je postala uvod u njemački poraz u Velikom ratu. Dana 16. jula, kraljevska porodica i njena mala pratnja ubijeni su u podrumu Ipatijevske kuće. Ovih sudbonosnih dana, tačnije 23. jula, učesnici seminara Getingenskog matematičkog društva čuli su poruku o teoremi, koja se vremenom pretvorila u izuzetno delotvoran alat fundamentalne nauke. Na jesen je u časopisu objavljen prošireni i revidirani tekst izvještaja Nachrichten von der Königche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasa. Ovaj članak, pod naslovom Problem invarijantnih varijacija, uvršten je u zlatni fond matematičke i teorijske fizike (dostupni su original na njemačkom i prevod na engleski).

Njen autor tada nije imao formalni status u njemačkom akademskom svijetu. Iako je 36-godišnja Emi Noeter uspela da odbrani doktorsku disertaciju i objavila 12 originalnih radova, njen pol je potpuno blokirao mogućnost ulaska u nemačke univerzitetske krugove. Konkretno, nije mogla (pa čak ni u budućnosti nije mogla) da postane član Kraljevskog naučnog društva Göttingen, gdje je njen rad predstavljen tri dana nakon izvještaja velikog matematičara Felixa Kleina (sasvim je moguće da je Emmy Noether nije bio ni prisutan na ovom sastanku). A kasnije, već u dvadesetim godinama, nakon što je postala svjetski poznata matematičarka, bila je prisiljena da se zadovolji s nepristojno niskom platom i vrlo skromnom pozicijom na Univerzitetu u Getingenu. Možda su za to krivi njeno jevrejsko porijeklo i vrlo ljevičarski stavovi.

Dug put do vrha

Veliki matematičari obično pokazuju svoje jedinstvene sposobnosti od malih nogu. Međutim, nema pravila bez izuzetaka.

Emi Noeter je rođena 23. marta 1882. godine u provincijskom bavarskom gradu Erlangenu. Od 1743. postojao je „slobodni“ (tj. nevezan za vjerske denominacije) Univerzitet Friedrich-Alexander, jedan od tri u tadašnjoj Njemačkoj (druga dva su osnovana ranije u Haleu i Getingenu). Tamo je nastava bila dobra, ali se njegova profesorska funkcija nije mogla pohvaliti nekim posebnim naučnim dostignućima. Istina, 1872–75. mladi Feliks Klajn je radio u Erlangenu. Po stupanju na dužnost, održao je sada poznato predavanje, "Uporedno razmatranje novih geometrijskih istraživanja", koje je izložilo plan za radikalnu obnovu geometrije zasnovane na apstraktnoj algebri, uključujući teoriju grupa. Ovo predavanje, koje je u istoriju nauke ušlo kao Erlangenski program, pokazalo se kao važna prekretnica za razvoj matematike u drugoj polovini 19. veka. Međutim, Klajn je tri godine kasnije promenio Erlangen u Minhen. Nakon njega, osoblje Friedrich-Alexander univerziteta činili su matematičari, iako dobri, ali ne prvog ranga. Jedan od njih je bio Emijev otac, koji je bio profesor do 1919. godine. plodno proučavao algebarsku geometriju, 1870-ih je dokazao (sam ili u saradnji) nekoliko vrlo netrivijalnih teorema, ali se potom posvetio samo podučavanju. Tu je predavao i istaknuti algebarista Paul Gordan, koji je vremenom odigrao značajnu ulogu u sudbini kćerke svog kolege.

Mala Emi je bila sasvim obično dete - slatka i pametna devojčica, ali nikako čudo od deteta. Sa sedam godina ušla je u opštinsku žensku gimnaziju, gde je učila dobro, ali ne briljantno. U aprilu 1900. položila je državne ispite dajući joj pravo da predaje engleski i francuski jezik u ženskim školama u Kraljevini Bavarskoj. Međutim, umjesto da traži mjesto profesora, upisala je Univerzitet u Erlangenu kao student, jer tada djevojke nisu primane kao redovne studentice. U zimu 1903–04. provela je semestar u Getingenu, gde je slušala predavanja od zvezda nemačke nauke kao što su matematičari Herman Minkovski, Feliks Klajn i David Hilbert, i astrofizičar Karl Švarcšild. Po povratku u Erlangen, dobila je univerzitetsku diplomu iz matematike u jesen 1904. To joj je omogućilo da nastavi školovanje na Filozofskom fakultetu, gdje je u decembru 1907. godine, pod vodstvom Gordane, odbranila doktorsku disertaciju, pa čak i sa počastima - summa cum laude. Sljedeće godine, njena disertacija se pojavila na vrlo prestižnom izdanju "Časopis za čistu i primijenjenu matematiku" (Journal für die reine und angewandte Mathematic), poznatiji po imenu svog osnivača kao Crelle's Journal.Ovo je bila njegova prva naučna publikacija, i to vrlo respektabilnog obima - 68 stranica (nešto ranije u zborniku Zbornika Zbornika objavljen je sažetak ovog rada na tri stranice). Fizičko-medicinsko društvo iz Erlangena).

Nakon svoje odbrane, Emmy je ostala u Erlangenu sedam i po godina u vrlo dvosmislenoj ulozi neplaćene i nestalne službenice na Univerzitetskom matematičkom institutu. Nadzirala je nekoliko studenata na doktorskim studijama, ponekad zamjenjivala oca na mjestu predavača i, naravno, radila vlastito istraživanje. Godine 1909. dobila je svoje prvo institucionalno priznanje tako što je postala članica Njemačkog matematičkog društva.

Sve do otprilike 1911. godine Emmy Noether uglavnom nije napuštala niz problema s kojima se bavila pripremajući svoju disertaciju. Oni su u potpunosti ležali u području naučnih interesovanja Paula Gordana. Ovi zadaci zahtijevali su radno intenzivne proračune, ali ideološki nisu bili ništa posebno. Mnogo godina kasnije, pričala je o njima bez imalo pijeteta i čak je priznala da je potpuno zaboravila formalni aparat koji je nekada koristila. Međutim, retrospektivno, očito je da je stečeno iskustvo mnogo pomoglo u dokazivanju njene velike teoreme.

O tome se vrijedi detaljnije zadržati. Paul Gordan je radio na algebarskim invarijantama od kasnih 1860-ih, postavši jedan od glavnih stručnjaka u ovoj oblasti matematike. Istorijski gledano, ove studije sežu do djela takvih titana kao što su Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange i, posebno, Carl Friedrich Gauss, koji je pristupio ovim problemima u okviru teorije brojeva. U ovoj teoriji značajnu ulogu imaju takozvani algebarski oblici - homogeni polinomi bilo kojeg stepena u dvije ili više varijabli. Najjednostavniji od njih u standardnoj notaciji izgleda ovako:

Gdje x I y- nezavisne varijable, a, b I With- konstantni koeficijenti.

Ovo je binarni kvadratni oblik, drugim riječima, oblik drugog stepena dvije varijable. Ternarno (odnosno iz tri varijable x, y I z) kvadratni oblik izgleda slično, samo duži:

Na primjer, također možete napisati binarni kubni oblik:

Dalji primjeri su vjerovatno nepotrebni.

Varijable, bez obzira koliko ih ima (odnosno, bez obzira na dimenziju prostora ovih varijabli) mogu se podvrgnuti linearnoj transformaciji (preći na nove varijable koje će biti linearne kombinacije starih). Geometrijski, takva transformacija znači rotiranje koordinatnih osa uz istovremenu promenu skale dužine duž svake ose. Prilikom pisanja forme u novim varijablama, njegovi se koeficijenti, naravno, mijenjaju. Međutim, i to je najvažnije, neke funkcije ovih koeficijenata ili zadržavaju svoju numeričku vrijednost ili se množe sa zajedničkim faktorom, koji ovisi samo o specifičnoj transformaciji varijabli. Ove funkcije se nazivaju algebarske invarijante. Ako je faktor u pitanju jednak jedan, invarijanta se naziva apsolutna. Lako je pokazati da je invarijanta (iako ne i apsolutna) binarnog kvadratnog oblika njegov diskriminant \(b^2-ac\), dobro poznat iz školske algebre. Binarni kubni oblik već ima brojne invarijante. Čak i najjednostavniji od njih, koji je 1844. pronašao njemački matematičar Ferdinand Eisenstein, mnogo je duži: \(3b^2c^2 + 6abcd-4b^3d-4ac^3-a^2d^2\).

Jasno je da različite vrste algebarskih oblika imaju različite porodice invarijanti, ponekad vrlo brojne. Gordan, kojeg nisu uzalud nazivali kraljem teorije invarijanti, godinama je bio uključen u njihov proračun. Upravo taj problem - pronaći kompletan skup invarijanti ternarnog bikvadratnog oblika - predložio je svojoj jedinoj doktorantkinji Emmy Noether. Sjajno je to riješila, sastavivši listu od čak trista trideset i jedne invarijante! Vjerovatno je bila toliko umorna od ovog posla da ga je mnogo godina kasnije opisala kao besmislicu - s godinama je postala vrlo oštra na jeziku.

Godine 1910. Gordan je dao ostavku. Godinu dana kasnije, njegovu stolicu je preuzeo Ernst Fischer, naučnik sa mnogo modernijim matematičkim interesima. Komunikacija sa Fischerom olakšala je Emi Noeter da se upozna sa mnogim novim idejama, posebno sa radom u oblasti apstraktne algebre i teorije kontinuiranih grupa. Tako su se njene naučne težnje približile interesima Davida Hilberta i drugih matematičara iz Getingena, koji su se ozbiljno zainteresovali za njen rad. I tako se dogodilo da su u proljeće 1915. Klein i Hilbert pozvali Noether da se preseli na njihov univerzitet, nadajući se da će joj osigurati mjesto privatnog docenta. Međutim, tada od toga nije bilo ništa. Uprkos izveštaju koji je podnosilac predstavke podneo u novembru 1915. godine, Senat univerziteta je odbio da odobri Emi Noeter „zbog nepoštovanja formalnih pravila“. To je značilo odredbu odobrenu 1908. godine, prema kojoj su samo muškarci mogli biti privatni docenti. Branitelji Emmyja su se žalili ministru kulture, ali je on odbio da interveniše. Prema široko rasprostranjenoj legendi, upravo je u tom pogledu Gilbert rekao svojim kolegama da ne vidi zašto bi spol kandidata mogao biti prepreka za preuzimanje pozicije privatnog docenta, budući da univerzitet još uvijek nije kupalište.

Čak i da je tako rekao (nema dokumentovanih dokaza o tome), njegova otrovna retorika nije imala efekta. Još tri godine, Emi je zapravo radila kao Hilbertova pomoćnica i ponekad je umesto njega držala predavanja, ali, kao u Erlangenu, samo uz ptičju dozvolu. Tek 1919. godine, već u doba Vajmarske republike, konačno je postala privatni docent, a četiri godine kasnije univerzitet ju je počastio prilično čudnom titulom nezvaničnog izvanrednog profesora (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Istina, ova titula, kao i privatni docent, nije davala pravo na redovnu platu. Međutim, Hilbert i još jedna zvijezda getingenske matematike, Richard Courant, uspjeli su dobiti njene časove algebre na univerzitetu, koji su ipak bili plaćeni, iako vrlo skromno (200–400 maraka mjesečno), a njen ugovor je zahtijevao godišnju potvrdu od pruskog ministarstva. nauke, umjetnosti i nauke. U tom svojstvu, Emmy Noether je radila u Getingenu do 1933. Nakon Hitlerovog dolaska na vlast, kada su jevrejski naučnici protjerani sa njemačkih univerziteta, preselila se u Sjedinjene Države.

Teorema po redu

Ubrzo nakon što je Emmy Noether stigla u Getingen, tamo su se desili događaji koji su postali uvod u njeno prvo veliko delo. U ljeto 1915. Albert Ajnštajn je na šest predavanja upoznao svoje kolege iz Getingena sa glavnim idejama svoje (tada još ne dovršene, ali već blizu završetka) relativističke teorije gravitacije, poznatije kao opšta teorija relativnosti. Među publikom je bio i Hilbert, koji se ozbiljno zainteresovao za Ajnštajnove ideje. U novembru, Ajnštajn je napisao konačnu verziju jednačina GR, o čemu je izveštavao na četiri sastanka Pruske akademije nauka (videti Centenary of GR, ili Godišnjica „Prve novembarske revolucije“). Nešto kasnije, Hilbert je ponovo izveo ove jednačine na osnovu principa najmanje akcije, što je objavio u članku objavljenom krajem marta 1916. Ovaj zaključak je elegantniji od Ajnštajnovog originalnog zaključka i zasluženo se pojavljuje u mnogim udžbenicima, na primer, u „Teoriji polja“ Landaua i Lifšica.

Tokom ovog rada, Hilbert je naišao na veoma ozbiljan problem. Shvatio je da nas je nova teorija gravitacije primorala da drugačije gledamo na svetu kravu fizike – zakon održanja energije. Newtonova teorija gravitacije i Maxwellova elektrodinamika smatraju energiju mjerljivom fizičkom veličinom koja je određena u bilo kojoj tački u prostoru iu bilo kojem trenutku vremena (ili u bilo kojoj tački prostor-vremena, koristeći jezik specijalne relativnosti). U Ajnštajnovoj teoriji, takvo tumačenje se suočava sa poteškoćama koje je Hilbert primetio.

Za početak jedno pojašnjenje. Njutnova gravitacija nema svoju dinamiku, jer promene u gravitacionom polju nastaju samo kao rezultat kretanja tela koja ga stvaraju. Elektromagnetno polje je, naprotiv, samo po sebi dinamično. U njemu su mogući talasni procesi koji prenose energiju. Međutim, ukupni protok energije elektromagnetnog polja kroz granice bilo kojeg zatvorenog područja prostora jednak je brzini promjene ukupne energije sadržane u ovoj zapremini. Ovo je zakon održanja elektromagnetne energije u fizički značajnom obliku.

Ajnštajnova gravitacija je druga stvar. Za razliku od Njutnovskog, on je dinamičan i u njemu su mogući talasni procesi, kao u elektromagnetnom polju. Međutim, njegova dinamika je mnogo složenija. Jednačine opšte relativnosti mogu se napisati u proizvoljnim sistemima prostorno-vremenskih koordinata, između kojih su moguće glatke transformacije. Zbog ovakvih transformacija, moguće je nulirati veličinu gravitacionog polja u bilo kojoj proizvoljno odabranoj tački i njenom infinitezimalnom susjedstvu. Fizički, to znači da tamo možete staviti imaginarnog posmatrača koji neće moći registrirati silu gravitacije (ovo je Einsteinov princip ekvivalencije). Iz toga slijedi da je u općoj relativnosti nedvosmislena lokalizacija energije u principu nemoguća. Pitanje šta učiniti sa zakonom njegovog održanja jako je mučilo Hilberta, pa je zamolio Emmy Noether da to riješi. Upravo je ovaj problem doveo Noether do njene teoreme.

Naravno, Hilbert nije napravio svoj izbor u vakuumu. Znao je kako je Noether briljantno pokazala svoj matematički talenat u izračunavanju algebarskih invarijanti. Analiza uslova pod kojima su zadovoljeni zakoni održanja fizičkih veličina (posebno energije) zahtevala je i rad sa invarijantama, ali drugačije vrste – diferencijalnim (vidi: Diferencijalna invarijanta). Tako su Hilbert, kao i Felix Klein, koji je bio zainteresovan za isti problem, imali sve razloge da računaju na pomoć svog bivšeg učenika.

Ona ne samo da je ispunila ta očekivanja, već ih je i premašila. Emmy Noether je najvjerovatnije počela ispunjavati Hilbertov zadatak u jesen 1915. godine. Na kraju je dobila izuzetno snažne rezultate, čiji se obim pokazao mnogo širi od obima problema koji je prvobitno postavio Hilbert. Kako se ispostavilo, ovo polje uključuje ne samo opštu relativnost i druge teorije polja klasične fizike, već i teorije kvantizovanih polja razvijene u drugoj polovini dvadesetog veka. Naravno, 1918. jednostavno nije bilo razloga očekivati ​​takav uspjeh.

U svom najopštijem obliku, suština Noetherove teoreme može se doslovno izraziti u dvije riječi. Proučavajući prirodu na fundamentalnom nivou, naučnici nastoje da pronađu one karakteristike fizičkih sistema koje ostaju nepromenjene tokom procesa u kojima su ti sistemi uključeni. Na primjer, naša planeta se kreće u svojoj orbiti promjenjivom brzinom, ali imaginarni segment koji je povezuje sa Suncem briše jednaka područja u jednakim vremenskim periodima (Keplerov drugi zakon). Ukupni električni naboj izolovanog makroskopskog sistema se ne menja, bez obzira na to kroz koje unutrašnje transformacije prolazi; na isti se način naboji elementarnih čestica razlikuju u apsolutnoj konstantnosti. Iz Noetherove teoreme slijedi da je samo postojanje takvih očuvanih svojstava direktno povezano sa simetrijama neke fundamentalne fizičke veličine koja određuje dinamiku sistema. Drugačije rečeno, zakoni održanja se ispostavljaju kao direktna posljedica prisustva određenih simetrija. Ovaj zaključak je postao najuniverzalnije oruđe za identifikaciju takvih zakona u raznim oblastima fizike od Njutnove mehanike do modernog Standardnog modela elementarnih čestica. Osim toga, može se nazvati jednim od najljepših teorijskih uvida u cjelokupnoj istoriji nauke.

Količina o kojoj smo upravo govorili naziva se akcija. Njegov specifični oblik zavisi od sistema čije ponašanje opisuje. Po obliku, to je jednodimenzionalni ili višedimenzionalni integral jednako fundamentalne funkcionalnosti - Lagranžiana. U stvarnim fizičkim procesima djelovanje poprima ekstremnu vrijednost - najčešće dostiže minimum. Ova izjava, koja nije sasvim tačno nazvana principom najmanjeg dejstva, omogućava korišćenje metoda varijacionog računa za zapisivanje jednačina koje opisuju dinamiku sistema.

Kao što je već pomenuto, Hilbert je upravo ovom metodom dobio jednačine opšte relativnosti drugačije nego Ajnštajn. Naravno, prvo je trebao utvrditi kako radnja i, shodno tome, Lagranžijan izgleda u ovom slučaju, u čemu je i uspio (gotovo istovremeno, izvođenje jednadžbi opšte relativnosti po principu najmanje akcije izvršio je Hendrik Anton Lorentz, a 1916. i sam Ajnštajn). Ne ulazeći u detalje, napominjem da Hilbertov Lagranžijan (Ajnštajn-Hilbertova akcija) zavisi od komponenti metričkog tenzora, koji određuju deformaciju prostorno-vremenskog kontinuuma, koji se, prema opštoj relativnosti, manifestuje kao gravitaciona sila. .

Sada se vratimo na Emmy Noether. Njen članak uključuje vrlo visoku matematiku koja se ne može opisati riječima. Sve što možete da uradite je da opišete opštu ideju. Kao i Hilbert, ona je radila po principu najmanje akcije. Zanimale su je posljedice matematičkih operacija koje transformiraju matematičke objekte uključene u izračunavanje radnje, ali ostavljaju njegovu brojčanu vrijednost nepromijenjenom - ili, općenito, ne mijenjaju je previše (naravno, postoji precizna matematička definicija za ovo „nije mnogo“). To znači da takve operacije ostavljaju akciju nepromjenjivom. Invarijantnost prema određenoj transformaciji ili čak čitavoj klasi transformacija naziva se simetrija. Emmy Noether je u svom radu postavila pitanje do kakvih posljedica dovodi prisustvo određenih simetrija u radnji.

Ona je ovaj problem riješila u vrlo općenitom obliku, ali uz jedno značajno ograničenje. Transformacije simetrije mogu biti kontinuirane ili diskretne. Primjeri prvog su pomaci duž koordinatnih osa ili rotacije pod proizvoljnim uglovima. Diskretne transformacije, naprotiv, dozvoljavaju samo konačan ili, najviše, prebrojiv broj promjena. Na primjer, krug ostaje nepromijenjen za vrijeme bilo koje rotacije oko svog geometrijskog centra, a kvadrat ostaje nepromijenjen samo tokom rotacija koje su višestruke od 90 stepeni. U prvom slučaju radi se o kontinuiranoj simetriji, u drugom - o diskretnoj simetriji. Obje simetrije su opisane pomoću teorije grupa, ali se koriste različite njene grane. Diskretne transformacije od interesa za fiziku koriste teoriju grupa sa konačnim brojem elemenata. Za opisivanje kontinuiranih simetrija koriste se beskonačne grupe određenog tipa, koje se nazivaju Lie grupe u čast velikog norveškog matematičara Sophusa Liea. Emmy Noether je istraživala vezu između zakona očuvanja i kontinuiranih simetrija, pa je u svom radu koristila teoriju Lie grupe. Vrijedi napomenuti da diskretne simetrije također mogu dovesti do jednog ili drugog zakona održanja, ali u ovom slučaju je Noetherov teorem nezamjenjiv.

Početkom druge decenije prošlog veka, teoriju Lijevih grupa dobro je razvio ne samo Lie, već i drugi matematičari, među kojima su pre svega Nemac Wilhelm Killing i Francuz Elie Cartan. Fizičari tog vremena praktički nisu bili upoznati s tim, ali Emmy Noether je imala vremena i želje da to proučava još u Ergangenu. Sada ga je iskoristila - i to sa velikim uspjehom.

Emmy Noether je ispitivala transformacije simetrije u kojima djeluju dvije vrste Lieovih grupa. U jednom slučaju, svaka transformacija (to jest, svaki element Lie grupe) zavisi od konačnog (možda čak i prebrojivog) broja numeričkih parametara. Elementi Lieovih grupa drugog tipa, naprotiv, zavise od jednog ili drugog broja proizvoljnih funkcija. Na primjer, ravninske rotacije su određene jednim parametrom (kut rotacije), a prostorne rotacije tri (svaka od njih se može predstaviti kao niz rotacija oko tri koordinatne ose). Naprotiv, Ajnštajnova opšta relativnost zasniva se na principu potpune kovarijanse jednačina, odnosno sposobnosti da se one zapišu u bilo kom četvorodimenzionalnom koordinatnom sistemu (što fizički znači mogućnost proizvoljnog odabira lokalnog referentnog sistema u bilo kojoj tački u prostor-vreme). Ovo je također vrsta simetrije, i to upravo ona koju je Emmy Noether svrstala u drugu vrstu.

Kao posljedica toga, Noetherova teorema se sastoji od dva dijela. Prvo je razmatrala invarijantnost akcije prema simetrijama koje odgovaraju grupnim transformacijama prvog tipa. Pokazalo se da takva invarijantnost omogućava zapisivanje matematičkih odnosa koji se mogu tumačiti kao zakoni održanja za fizičke veličine koje zadovoljavaju ove simetrije. Jednostavno rečeno, ovi zakoni su direktne posljedice određenih simetrija.

Evo nekoliko primjera. Uzmimo izolovani (tj. oslobođen od spoljašnjih uticaja) sistem čestica koji se povinuje Njutnovskoj mehanici i Njutnovskoj teoriji gravitacije (planete koje kruže oko uslovno fiksne zvezde mogu delovati kao čestice). Za takav sistem, akcija je invarijantna u odnosu na vremenske pomake. Iz Noetherove teoreme slijedi da ukupna (kinetička i potencijalna) energija čestica ne ovisi o vremenu, odnosno da je očuvana. Slično, invarijantnost u odnosu na proizvoljne pomake u prostoru znači očuvanje ukupnog momenta gibanja, a invarijantnost u odnosu na rotacije znači očuvanje ugaonog momenta.

Naravno, ovi zakoni su bili poznati i ranije, ali njihova priroda je ostala tajanstvena, ako hoćete, misteriozna. Noetherov teorem jednom za svagda uklonio je veo s ove misterije, povezujući zakone očuvanja sa simetrijama prostora i vremena.

Slična je situacija i sa sistemima koji su opisani relativističkom mehanikom. Ovdje ne postoje odvojeno vrijeme i prostor; oni su zamijenjeni jednim četverodimenzionalnim prostorno-vremenskim kontinuumom, poznatim kao prostor Minkovskog. Maksimalnu simetriju takvog prostor-vremena daje desetparametarska Liejeva grupa poznata kao Poincaréova grupa. Ima podgrupu od četiri parametra, koja odgovara pomacima u prostoru Minkovskog. Invarijantnost djelovanja u odnosu na ove pomake dovodi do očuvanja četverodimenzionalnog vektora, čija jedna komponenta odgovara energiji, a tri impulsu. Iz toga slijedi da se u svakom inercijskom referentnom okviru održavaju energija i impuls (iako njihove numeričke vrijednosti nisu iste u različitim okvirima).

Svi ovi zaključci bili su očigledni odmah nakon objavljivanja Noetherove teoreme. Evo još jednog primjera koji je ostvaren kada je izgrađena kvantna elektrodinamika. Do sada smo govorili o vanjskim simetrijama povezanim ne sa samim fizičkim sistemom, već s njegovim, da tako kažem, odnosima s vremenom i prostorom. Međutim, Noetherov teorem nam također omogućava da uzmemo u obzir unutrašnje simetrije, drugim riječima, simetrije fizičkih polja „upisanih“ u Lagranžijan (za one koji vole preciznost, simetrije matematičkih konstrukcija koje predstavljaju ova polja). Ova mogućnost također dovodi do otkrića različitih zakona očuvanja.

Uzmimo Lagranžijan slobodnog relativističkog elektrona, koji nam omogućava da izvedemo čuvenu Diracovu jednačinu. Ne mijenja se takvom transformacijom valne funkcije, koja se svodi na njeno množenje kompleksnim brojem jediničnog modula. Fizički, to znači promjenu faze valne funkcije za konstantnu vrijednost koja ne ovisi o prostorno-vremenskim koordinatama (ova simetrija se naziva globalna). Geometrijski, ova transformacija je ekvivalentna rotaciji u ravni za proizvoljan, ali fiksni ugao. Prema tome, ona je opisana jednoparametarskom Lievom grupom - takozvanom U(1) grupom. Zbog istorijske tradicije, koja datira još od velikog matematičara i Hilbertovog učenika Hermanna Vajla, svrstava se u jednu od velike grupe simetrija koje se nazivaju kalibracione simetrije. Iz Noetherove teoreme slijedi da globalna mjerna simetrija ovog tipa podrazumijeva očuvanje električnog naboja. Nije slab rezultat, a svakako ni trivijalan!

Noetherova druga teorema nije tako transparentna. Opisuje situacije kada transformacije simetrije, koje ostavljaju akciju invarijantnom, ne zavise od numeričkih parametara, već od nekih proizvoljnih funkcija. Pokazalo se da u opštem slučaju takva invarijantnost ne omogućava formulisanje zakona održanja fizički merljivih veličina. Konkretno, iz Noetherove druge teoreme slijedi da u općoj teoriji relativnosti ne postoje univerzalni zakoni održanja energije, količine gibanja i ugaonog momenta koji bi imali nedvosmisleno značenje u fizički realnim (to jest, ne beskonačno malim) područjima prostora. vrijeme. Istina, postoje posebni slučajevi kada se u okviru opšte teorije relativnosti može ispravno postaviti pitanje očuvanja energije. Međutim, općenito, rješenje ovog problema zavisi od toga šta se tačno smatra energijom gravitacionog polja i u kom smislu govorimo o njegovom očuvanju. Štaviše, ukupna energija čestica koje se kreću u prostoru sa dinamičkim gravitacionim poljem (drugim rečima, u prostoru sa promenljivom metrikom) nije očuvana. Dakle, u našem svemiru koji se širi, fotoni kosmičkog mikrotalasnog pozadinskog zračenja kontinuirano gube energiju - to je dobro poznati fenomen kosmološkog crvenog pomaka.

Dve sudbine

Članak u Nachrichten značajno unapredio naučnu karijeru Emmy Noether. U pozadini poslijeratnog slabljenja muškog šovinizma, 21. maja 1919. godine, Filozofski fakultet Univerziteta u Getingenu pristao je da prihvati ovu publikaciju kao kvalifikacionu disertaciju (habilitaciju) neophodnu za dobijanje pozicije privatnog docenta. Nedelju dana kasnije, Noether je položila obavezni usmeni ispit, a 4. juna je održala probno predavanje članovima matematičkog odseka fakulteta. U jesenjem semestru počela je da predaje svoj prvi kurs.

Nakon toga, sudbine Noetherove teoreme i njenog autora su se odlučno razišle. Emmy Noether nikada više nije studirala fiziku, potpuno se prebacivši na apstraktnu algebru. U ovoj oblasti matematike koja se brzo razvija, dobila je fundamentalne, u punom smislu fundamentalne rezultate u algebarskoj geometriji i teoriji prstenova. O njima možemo pričati jako dugo, ali ovo je sasvim druga priča.

Miran i profesionalno zauzet život Emmy Noether u Getingenu prekinut je dolaskom nacista. U aprilu 1933. Ministarstvo nauke, umjetnosti i obrazovanja ukinulo joj je dozvolu da predaje na Univerzitetu u Getingenu (istim dekretom su Kurant i jedan od tvoraca kvantne mehanike, Maks Born, bili lišeni profesorskih mjesta). Nekoliko mjeseci kasnije, Emmy Noether emigrirala je u Sjedinjene Države, gdje je uz pomoć Rockefeller fondacije dobila ugovor o gostovanju da predaje na elitnom ženskom koledžu Bryn Mawr u Pensilvaniji. Počevši od februara 1934., takođe je počela da drži nedeljna predavanja u obližnjem (ali ne na Univerzitetu Prinston, gde su žene u to vreme bile potpuno isključene). Letos je nakratko otputovala u Getingen, iskoristivši svoj novootkriveni status stranog naučnika, a zatim zauvek napustila Nemačku. Ali nije imala dugo da živi. 14. aprila 1935. Emmy Noether je umrla od komplikacija nakon operacije, najvjerovatnije zbog teške infekcije. U pismu objavljenom 5. maja u New York Timesu, Albert Ajnštajn je primetio: „po sudu najkompetentnijih živih matematičara, Fräulein Noether je bila najznačajniji kreativni matematički genije do sada proizveden od početka visokog obrazovanja žena“ („Prema najkompetentnijim savremenim matematičarima, Fraulein Noether je u svom matematičkom stvaralaštvu pokazala tako visok stepen genijalnosti koji niko nije uspeo da postigne otkako su žene stekle pravo na visoko obrazovanje.”). A devet dana ranije, Hermann Weil je u predavanju posvećenom njenom sjećanju rekao: "bila je veliki matematičar, najveća... koju je njen seks ikada proizveo, i sjajna žena" ("bila je sjajna žena i u isto vrijeme najveća matematičarka").

Za života i ubrzo nakon smrti, Emmy Noether joj je odana počast gotovo isključivo zbog njenog algebarskog istraživanja. Koliko god to sada izgledalo čudno, gotovo niko nije primijetio njenu veliku teoremu. Naravno, ovo djelo su visoko cijenili i Hilbert i Klajn, koji su ga predstavili Kraljevskom društvu, ali to nije išlo dalje. Čak ni Herman Vajl, koji je mnogo radio na teorijskoj fizici, a posebno na simetriji, nije našao za shodno da to spomene u osnovnoj monografiji „Teorija grupa i kvantna mehanika“ objavljenoj 1928. Čini se da se jedino kratko prepričavanje rada Emmy Noether u klasičnim matematičkim djelima prve trećine prošlog stoljeća može naći u čuvenoj knjizi Couranta i Hilberta “Metode matematičke fizike”, prvi put objavljenoj 1924. godine.

O razlozima takvog zaborava može se dugo raspravljati, ali ovo je predaleko od glavne teme. Bilo kako bilo, sve do sredine dvadesetog veka, fizičari se gotovo nisu pozivali na Noetherov članak, iako su njegovi rezultati bili ne samo prilično poznati, već su i mnogo puta korišteni. U 50-im godinama situacija se promijenila. Ovo je prvenstveno zbog buđenja interesa za ulogu simetrija u kvantnim teorijama polja, koji je uslijedio nakon rada istraživača iz Brookhaven National Laboratory Zhenning Yanga i Roberta Millsa iz 1954. godine, Očuvanje izotopskog spina i invarijantnosti izotopskog kalibra. Koautori su "izmislili" kvantna polja nazvana po njima, na osnovu merne simetrije izotopskog spina. Za razliku od simetrije, koja osigurava očuvanje električnog naboja, ona nije bila globalna, već lokalna - u smislu da su parametri grupnih transformacija u njihovom radu bili funkcije prostornih koordinata. Ovo je tip simetrije o kojoj je Emmy Noether raspravljala u drugoj teoremi.

Kao što je poznato, upravo je ovladavanje lokalnim mjernim simetrijama omogućilo konstruiranje Standardnog modela elementarnih čestica 1970-ih - najozbiljnijeg dostignuća teorijske fizike druge polovine 20. stoljeća. Ali čak i nekoliko decenija prije nastanka, Noetherov teorem počeo se citirati u člancima i monografijama iz fizike. Sada je njen rad prepoznat kao visoki klasik nauke.

Na kraju, želio bih čitatelju dati još jedan primjer kako bi stekao ukus primjene simetrija o kojima je raspravljala Emmy Noether u svojoj drugoj teoremi. Vratimo se mjernoj grupi U(1), ali sada rotaciju faze pravimo promjenljivom, funkcijom prostorno-vremenskih koordinata. U ovom slučaju ne radi se o globalnim, već o lokalnim transformacijama mjerila. Da vas podsjetim da je to upravo tip grupnih transformacija koje opisuje Noetherova druga teorema.

Sam Diracov Lagranžijan nije invarijantan prema lokalnoj grupi U(1) – dakle, nije ni akcija. Međutim, invarijantnost se može vratiti ako se Lagranžijanu doda polje sile, koje se također pridržava neke lokalne simetrije. Kao rezultat ove operacije, dodatni termin se automatski pojavljuje u Lagranžijanu, koji opisuje interakciju ovog polja sa elektronima. Samo polje je kvantna verzija elektromagnetnog zračenja. Dakle, zahtjev lokalne U(1) mjerne simetrije za Diracovo polje automatski dovodi do zaključka da elektroni međusobno djeluju razmjenom kvanta elektromagnetskog polja, odnosno fotona! I kao dodatni bonus, dobijamo još jednu izjavu - ovi kvanti imaju nultu masu!

Ovaj zaključak se može drugačije formulisati. Za postojanje lokalne invarijantnosti u odnosu na grupu U(1), neophodno je da očuvani naboj bude izvor vektorskog polja bez mase (fotoni su vektorske čestice, čestice sa spinom 1). Sposobnost električnog naboja da generiše fotone je njegovo jedinstveno svojstvo. Elementarne čestice imaju i druge očuvane naboje (na primjer, barion i lepton). Međutim, kako slijedi iz eksperimentalnih podataka, ovi naboji ne generiraju vektorska polja bez mase - to jest, eksperiment ne potvrđuje postojanje barionskih i leptonskih analoga fotona. Ovi naboji odgovaraju samo globalnim, a ne lokalnim simetrijama tipa U(1).

Ovaj primjer nikako nije izoliran. Simetrije Noetherove druge teoreme omogućavaju nam da uspostavimo fundamentalne korespondencije između svojstava čestica i polja s kojima te čestice mogu komunicirati. Opet - nimalo slabo! Nije slučajno što je poznati američki teorijski fizičar, profesor na Univerzitetu Kalifornije Anthony Zee, u svojoj monografiji Grupna teorija ukratko za fizičare iz 2016. godine, primijetio da je, po svoj prilici, Emmy Noether najbolja fizičarka koja je ikada živjela. ovaj svijet ( “vjerovatno najdublja žena fizičarka koja je ikada živjela”). Tako visoka ocjena - i to samo zbog jednog članka!

I još jedan zanimljiv detalj. Ideju mjerne simetrije prvi je predložio Weyl u članku Gravitacija i elektricitet, objavljenom u Berlinu iste 1918. godine. Tako da imamo pravo da slavimo stogodišnjicu dva velika otkrića u teorijskoj fizici odjednom! Zaista, bogovi su milostivi prema velikim naučnicima.

Ruski trag

Emmy Noether je imala mnogo prijatelja i obožavatelja u sovjetskoj matematičkoj zajednici. Godine 1923. iz Moskve su u Getingen došli sjajni mladi topolozi Pavel Aleksandrov i Pavel Uryson, preko kojih je Noether uspostavila veze sa ruskim kolegama. U zimu 1928–29. predavala je kurs apstraktne algebre na Moskovskom državnom univerzitetu i vodila seminar o algebarskoj geometriji na Komunističkoj akademiji. Kada je Noether izbačena iz Getingena, Aleksandrov je pokušao da je dobije za katedru algebre na Moskovskom državnom univerzitetu, ali nije dobio podršku Narodnog komesarijata za obrazovanje. Da se dogodilo drugačije, mogla je u Moskvi stvoriti školu algebraista svjetske klase. Ali sudbina je mogla drugačije da odluči. Njen mlađi brat Fric, dobar primenjeni matematičar, otišao je u SSSR, gde je postao profesor na Tomskom univerzitetu. Krajem 1937. uhapšen je kao nemački špijun i 10. septembra 1941. streljan u Orlu.

Na neki način, međutim, veze Emmy Noether s Rusijom sežu mnogo dalje. U Bryn Mawr ju je pozvala dekanica odsjeka za matematiku, Anna Johnson Pell Wheeler, koja je svojevremeno studirala u Getingenu. O ovoj ženi vrijedi reći detaljnije, a glavna karakteristika bit će na kraju.

Rođena Anna Johnson, kćerka švedskih emigranata, pripadala je istoj generaciji naučnika kao Emmy Noether i bila je praktički istih godina. Rođena je u maju 1883. godine u Ajovi. Godine 1899. primljena je na Univerzitet Južne Dakote, gdje je postala jedna od najboljih studentica. Anna je odlično učila njemački, francuski, latinski, hemiju, fiziku i matematiku, što joj je postalo glavni hobi. Za devojčicu se zainteresovao profesor matematike Alexander Pell, koji je prepoznao njene izuzetne sposobnosti za apstraktno razmišljanje i nagovorio je da nastavi svoje matematičko obrazovanje. Godine 1903. Anna se prebacila na Univerzitet u svojoj matičnoj državi Iowa i godinu dana kasnije tamo odbranila magistarski rad o primjeni teorije grupa na linearne diferencijalne jednadžbe. Za ovaj rad je dobila stipendiju na čuvenom Ženskom koledžu Radcliffe, a 1905. godine stekla je još jednu magistraturu. Čak i tada, smatrana je jednom od najperspektivnijih žena matematičara u Americi. Godine 1906. Ana je pobijedila na konkursu za prestižnu stipendiju Alice Freeman Palmer, namijenjenu diplomcima američkih koledža koji su željeli nastaviti školovanje u inostranstvu. To joj je omogućilo da provede godinu dana na Univerzitetu u Getingenu, gde je studirala sa istim zvezdama nemačke nauke kao (dve godine ranije) Emmy Noether. Njen glavni mentor bio je Hilbert, koji je tada radio na integralnim jednačinama i ovim hobijem zarazio svog američkog studenta. Poslije je radila u ovoj oblasti iu srodnoj oblasti funkcionalne analize.

Alexander Pell se stalno dopisivao sa Anom i na kraju ju je zaprosio. U ljeto 1907. došao je u Getingen i vjenčali su se. Tamo je Pell upoznao sveučilišne svjetiljke u čijem se krugu kretala njegova nevjesta. Par se vratio na Univerzitet Južne Dakote, gdje je Anna počela predavati tečajeve diferencijalnih jednačina i teorije funkcija. Veći dio 1908. ponovo je provela u Getingenu, nakon čega je upisala postdiplomske studije na Univerzitetu u Čikagu. Doktorirala je 1910. i počela da predaje matematiku na lokalnom koledžu 1911. godine.

U to vrijeme, Pell se također našao u Čikagu, gdje je dobio poziciju na Institutu za oklop (sada -). Godine 1911., nakon što je doživio moždani udar, prestao je s predavanjima i predao svoja predavanja Ani. Zamjenjivala je muža do 1913. godine, kada je on formalno otišao u penziju. Ipak, Pell je nastavio da piše radove i prisustvuje konferencijama Američkog matematičkog društva (posljednji put 1919.), pa čak i predaje semestralni kurs na Univerzitetu Northwestern tokom školske 1915-16.

Godine 1918. Anna Pell je pozvana u Bryn Mawr, gdje je postala profesorica, a kasnije i dekanica matematičkog odsjeka. Do tog vremena, ona je čvrsto ušla u malu galaksiju žena matematičara sa međunarodnom reputacijom. Ali Pell to nije doživio: umro je 26. januara 1921. Godine 1925. Ana se udala za svog kolegu, profesora latinskog jezika Arthura Wheelera, ali je 1932. ponovo ostala udovica. Godine 1948. otišla je u penziju, ali nije prestala da prati matematičku literaturu i pohađa seminare. Umrla je u martu 1966. u 82. godini. Sahranjena je na baptističkom groblju pored groba svog prvog muža. Još za života, Ana je iz sopstvenih sredstava osnovala stipendiju Aleksandra Pela za matematički nadarene studente na Univerzitetu Južne Dakote. Ovaj fond postoji i danas.

Jurij Davidov "Mrtvo vrijeme opadanja listova"). Članovi Narodne Volje koji su ostali slobodni dozvolili su Degaevu da ode u Ameriku, gdje je postao Pell. U Sjedinjenim Državama, nakon mnogih nezgoda, stekao je matematičko obrazovanje, završio postdiplomske studije na Univerzitetu Johns Hopkins u Baltimoru i na kraju dobio katedru u Južnoj Dakoti. Dakle, demonu istorije, da bi etablirao Emmy Noether u SAD-u, trebao je zli genije „Narodne Volje“ da se pretvori u uglednog američkog profesora koji je primijetio i unaprijedio nadarenog studenta iz dubokih provincija. Tako se to dešava!

U ovom ili onom stepenu, svaka osoba ima ideju o simetriji. Ovo svojstvo posjeduju različiti predmeti koji igraju važnu ulogu u svakodnevnom životu. Mnogim kreacijama ljudskih ruku dat je simetričan oblik i iz estetskih i iz praktičnih razloga. Možda najsimetričniji ljudski proizvod je lopta, koja uvijek izgleda isto bez obzira kako je okrenuta. Simetrija je rasprostranjena u prirodi - heksagonalni oblik pahuljica, razni geometrijski oblici kristala, približno zrcalna simetrija ljudskog tijela itd.

Prilično je teško dati opću definiciju pojma „simetrije“. Simetrija se često povezuje s ljepotom. „Simetrično znači nešto što ima dobre proporcije, a simetrija je ona vrsta konzistentnosti pojedinih dijelova koja ih spaja u cjelinu. Ljepota je usko povezana sa simetrijom”, napisao je G. Weil. Sažeti Oksfordski rječnik definiše simetriju kao “...ljepotu zbog proporcionalnosti dijelova tijela ili bilo koje cjeline, ravnoteže, sličnosti, sklada, konzistentnosti.”

Slika 5 – Primjeri simetrije u prirodi

Simetrija zauzima važno mjesto u prirodnim naukama, što dovodi do brojnih pojednostavljivanja slike svijeta i uspostavljanja sličnosti između njegovih različitih područja.

Simetrija(u fizici) – svojstvo fizičkih veličina da ostanu nepromijenjene (invarijantne) pod određenim transformacijama. Ove transformacije se nazivaju operacije simetrije .

Operacije simetrije uključuju, na primjer, operaciju refleksije u ogledalu, pomicanje i rotaciju. Kristali imaju simetriju smicanja, koju karakterizira pravilan raspored čestica s periodičnim ponavljanjem u tri dimenzije. Pravilni geometrijski oblici imaju aksijalnu simetriju. Dakle, rotiranje kvadrata za 90° u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovo središte okomito na njegovu ravan poravnava kvadrat sa samim sobom.

Simetrije se dijele na prostorno-vremenske (spoljne) i unutrašnje, koje opisuju svojstva elementarnih čestica.

Prostor i vrijeme su homogeni, tj. imaju simetriju smicanja: paralelni prijenos koordinatnog sistema i pomak u početku vremena ne mijenjaju zakone prirode. Izotropija prostora znači da ima aksijalnu simetriju: rotiranje koordinatnih osa za proizvoljan ugao ne mijenja zakone prirode.

U modernoj fizici otkrivena je određena hijerarhija simetrija. Gore navedene simetrije se javljaju za bilo koje interakcije. Postoje simetrije koje su zadovoljene samo pri jakim i elektromagnetnim interakcijama, a kod slabih interakcija te simetrije su narušene. Takve simetrije uključuju, na primjer, simetriju ogledala, operaciju konjugacije naboja, izotopsku invarijantnost, itd., te se simetrije nazivaju internim. Zrcalna simetrija (inverzija prostora, koja se sastoji u zamjeni koordinata x,y,z na - x,-y,-z) znači da odraz u ogledalu ne mijenja fizičke zakone. Zamjena svih čestica antičesticama naziva se operacija konjugacije naboja; takva operacija simetrije također ne mijenja procese jakih i elektromagnetnih interakcija koje se javljaju u prirodi. Izotopska invarijantnost povezana je sa sličnošću protona i neutrona (razlikuju se samo po prisutnosti električnog naboja na protonu, koji ne utječe na nuklearne procese).

Godine 1918 Amalie Emmy Noether dokazao temeljnu teoremu prema kojoj postojanje bilo koje specifične simetrije - u prostoru-vremenu, stupnjevima slobode elementarnih čestica i fizičkim poljima - vodi do odgovarajućeg zakona održanja, a iz te teoreme slijedi specifična struktura očuvane veličine. Iz invarijantnosti u odnosu na vremenski pomak, slijedi zakon održanja energije; iz simetrije u odnosu na prostorne pomake slijedi zakon održanja impulsa; Iz invarijantnosti u odnosu na prostornu rotaciju slijedi zakon održanja ugaonog momenta. Fizički zakoni se ne mijenjaju pod Lorentz transformacijama koje povezuju vrijednosti koordinata i vremena u različitim inercijskim referentnim sistemima (princip relativnosti). Iz principa relativnosti slijedi zakon održanja brzine kretanja centra mase izolovanog sistema.

Postojanje unutrašnjih simetrija takođe je povezano sa određenim zakonima očuvanja. Zrcalna simetrija dovodi do očuvanja posebnog kvantnog broja - pariteta, koji treba pripisati svakoj čestici. Očuvanje pariteta znači nepromjenjivost prirode u odnosu na zamjenu desnog lijevom i obrnuto; Kao što je već napomenuto, prostorni paritet nije očuvan u slabim interakcijama. Složena transformacija koja se sastoji od istovremene inverzije prostora i zamjene čestica antičesticama naziva se kombinirana inverzija. Zakon održanja kombinovanog pariteta je zadovoljen u svim interakcijama. Izotopska invarijantnost dovodi do očuvanja izotopskog spina tokom jakih interakcija (slabe interakcije, po pravilu, nastaju sa promjenom izotopskog spina). Postoje zakoni održanja električnih, barionskih i leptonskih naboja, koji izražavaju posebnu simetriju valne funkcije itd. Prema modernim konceptima, električni naboj mora uvijek biti očuvan tokom svih transformacija elementarnih čestica. Barionski i leptonski naboji možda nisu striktno konzervirani, iako eksperimentalna kršenja zakona održanja ovih naboja još nisu otkrivena. Nepoštivanje jednog od zakona očuvanja znači kršenje odgovarajuće vrste simetrije u ovoj interakciji.

Zakoni o očuvanju su moćno istraživačko oruđe. Često se dešava da se tačno rešenje jednačina kretanja pokaže veoma složenim ili da su delujuće sile nepoznate. Pošto zakoni održanja ne zavise od prirode sila koje deluju, mogu se koristiti za dobijanje niza važnih informacija o ponašanju mehaničkih sistema čak iu slučajevima kada su sile nepoznate. Uz pomoć zakona održanja otkriven je niz elementarnih čestica. Dakle, da bi zakoni održanja energije i ugaonog momenta bili zadovoljeni u procesu β-raspada, W. Pauli je predložio (1932) postojanje čestice nepoznate u to vrijeme

Uvod

Svaka jednakost oblika

zove se integral kretanja. Za zatvoreni sistem sa n stepeni slobode svega postoje nezavisni integrali kretanja. Ako uzmemo u obzir nove varijable u jednadžbama gibanja koje ne zavise od , tada će kompletan skup jednadžbi gibanja biti napisan u obliku , (1)

Štaviše, za zatvoreni sistem, vrijeme će ovdje ući samo u obliku eksplicitno zapisanih diferencijala. Stoga, isključujući iz ovih jednačina dt, dobićemo

jednadžbe koje ne sadrže vrijeme. Njihovo integrisanje će dovesti do integrala kretanja.

1. Asimptotska aditivnost integrala kretanja. Formulacija Noetherove teoreme.

Među svim integralima kretanja od posebnog su značaja aditivni ili asimptotski aditivni integrali kretanja, za koje postoji poseban naziv - zakoni održanja. Ako uzmemo u obzir dva sistema koji se nalaze veoma udaljeni jedan od drugog, onda je fizički očigledno da procesi u jednom sistemu ni na koji način ne bi trebalo da utiču na kretanje drugog. Pošto nas, s druge strane, ništa ne sprečava da dva takva sistema smatramo kao dva dela, I I II, jedan opšti sistem, onda dolazimo do uslova asimptotske aditivnosti, koji glasi: ako je neki sistem ( I+ II) je podijeljen na dva podsistema na način da je minimalna udaljenost između materijalnih tačaka različitih podsistema

, tada se njegova Lagrangeova funkcija razlaže u zbir Lagrangeovih funkcija oba podsistema: . (2)

Zakoni očuvanja imaju duboko porijeklo povezano s invarijantnošću opisa mehaničkog sistema u odnosu na određenu grupu transformacija vremena i koordinata. Postoji Noetherova teorema, koja kaže da za sistem diferencijalnih jednadžbi koji se mogu dobiti kao Eulerove jednadžbe iz nekog varijacionog principa, invarijantnost varijacionog funkcionala u odnosu na jednoparametarsku kontinuiranu grupu transformacija implicira postojanje jedne konzervacije zakon. Ako grupa sadrži l parametara, onda će invarijantnost funkcionala implicirati postojanje l zakoni o očuvanju.

Prisustvo grupe simetrijskih transformacija uključenih u grupu transformacija simetrije koje zahtijeva Noetherova teorema ovisi o prirodi fizičkog sistema. Za zatvorene sisteme koji se razmatraju, djelovanje mora biti invarijantno u odnosu na sedmoparametarsku grupu transformacija - ovisno o jednom vremenskom pomaku, ovisno o tri parametra prostornih pomaka i ovisno o tri parametra rotacije prostora. U skladu s tim, svaki zatvoreni sistem mora imati 7 očuvanih veličina koje odgovaraju naznačenim transformacijama. Ako je sistem takav da dozvoljava i druge transformacije simetrije, onda može postojati više očuvanih veličina.

2. Dokaz Noetherove teoreme

Hajde da precizno formulišemo i dokažemo Noetherov teorem.

Razmotrimo neki sistem opisan Lagrangeovom funkcijom

. (3)

Oblik Lagrange-Eulerovih jednadžbi dobivenih iz varijacionog principa s takvom Lagrangeovom funkcijom je invarijantan prema transformacijama oblika

, kao i u pogledu opštijih transformacija (4)

uključujući zamjenu nezavisne varijable. Međutim, konkretan oblik za novi izraz za akciju, kao funkcional novih koordinata u zavisnosti od novog vremena, može pretrpjeti bilo kakve promjene s takvom promjenom.

Noetherov teorem zanima samo u slučaju kada se takve promjene ne događaju.

generalizirane koordinate i vrijeme.

Koristeći (4), dobijamo:

(5)

Neka transformacija

takav da (6)

one. formiranje jednoparametarske grupe. Razmotrimo infinitezimalnu transformaciju koja odgovara parametru

. (7)

Zapravo, varijacije generalizovanih koordinata koje se javljaju tokom transformacije koja se razmatra su razlike u vrednostima

nove koordinate u nekom trenutku u novom vremenu i vrijednosti starih koordinata u odgovarajućoj tački u starom vremenu, tj. . (8)

Uz njih, zgodno je uvesti u razmatranje varijacije forme

(9)

ovisnosti koordinata o vremenu koje su različite od nule, čak i ako naša transformacija utječe samo na vrijeme, a ne na koordinate.

Za bilo koju funkciju vrijedi sljedeća relacija:

.

Tada postoji odnos između dva uvedena tipa varijacija, koji se može dobiti na sljedeći način: oduzmite jednačinu (9) od (8), dobijamo:

,

uzmimo to u obzir

,

onda imamo:

(10)

Varijacije bez zvjezdica koje se odnose na istu vrijednost argumenata su promjenjive s diferencijacijom u vremenu

,

dok za varijacije sa zvjezdicama to, općenito govoreći, nije istina.

Aleksej Levin Termin „teorema“ došao je u nauku iz geometrije helenističke ere. Uglavnom se bavi matematikom. Međutim, postoje teoreme u drugim naukama, posebno u fizici. Tako je u 19. veku u klasičnoj statističkoj mehanici formulisana teorema o ravnomernoj raspodeli kinetičke energije čestica po stepenima slobode, a zatim N-Boltzmannova teorema, prema kojoj entropija neravnotežnog sistema uvijek raste s vremenom. U 20. vijeku broj fizičkih teorema se značajno povećao. Primjeri uključuju Farryjev teorem, koji kaže da je u elektromagnetnim procesima očuvan paritet broja fotona; Paulijeva teorema o vezi između spina i statistike; Wickova teorema, koja igra ključnu ulogu u kvantnoj teoriji polja.

U ovoj veličanstvenoj seriji, posebno mjesto zauzima teorema koju je dokazala Emmy Noether, slobodna zaposlenica Univerziteta u Getingenu, na vrhuncu Velikog rata - negdje na prijelazu 1915.-1916. Autor je o tome prvi put dao izveštaj na seminaru Getingenskog matematičkog društva 23. jula 1918. godine, tako da je stogodišnjica pred vratima.

33-godišnja Emi Noeter stigla je u Getingen u proleće 1915. godine na poziv velikih matematičara Feliksa Klajna i Dejvida Hilberta. Nekoliko mjeseci kasnije tamo su se dogodili događaji koji su postali uvod u njeno prvo veliko djelo. U ljeto je Albert Ajnštajn upoznao kolege iz Getingena sa osnovnim idejama svoje teorije gravitacije koja je već bila blizu završetka, poznatije kao opšta teorija relativnosti. Među slušaocima je bio i Hilbert, koji se zainteresovao za Ajnštajnove ideje. U novembru je Ajnštajn napisao konačnu verziju jednačine opšte relativnosti, koju je odmah predstavio Pruskoj akademiji nauka. Nešto kasnije, Hilbert je te iste jednačine izveo na nov način, o čemu je izvijestio u članku objavljenom krajem marta 1916.

Tokom ovog rada, Hilbert je shvatio da nova teorija gravitacije dovodi u sumnju zakon održanja energije. Jednačine opšte relativnosti mogu se napisati u proizvoljnim sistemima prostorno-vremenskih koordinata, između kojih su moguće glatke transformacije. Uz njihovu pomoć, možete nulirati veličinu gravitacionog polja u bilo kojoj proizvoljno odabranoj tački i njenom beskonačno malom susjedstvu. Fizički, to znači da imaginarni posmatrač neće moći da registruje silu gravitacije u ovoj tački (ovo je Ajnštajnov princip ekvivalencije). Iz toga slijedi da je u općoj relativnosti nedvosmislena lokalizacija energije u principu nemoguća. Pitanje šta učiniti s njegovim očuvanjem jako je zabrinulo Hilberta, te je zamolio Emmy Noether da to riješi. Emmy Noether 1910. (Vikipedija) Ovaj zahtjev je više nego ispunjen. Noether je dobio izuzetno snažne rezultate, čiji se opseg ispostavilo da je mnogo širi od opsega problema koji je prvobitno postavio Hilbert. Danas znamo da ne pokriva samo opštu relativnost i druge teorije polja klasične fizike, već i teorije kvantizovanih polja razvijene u drugoj polovini dvadesetog veka.

U svom najopštijem obliku, suština Noetherove teoreme može se izreći doslovno ukratko. Proučavajući prirodu na fundamentalnom nivou, naučnici traže karakteristike fizičkih sistema koje ostaju nepromenjene tokom bilo koje transformacije. Iz Noetherove teoreme slijedi da je postojanje takvih očuvanih svojstava direktno povezano sa simetrijama takozvanog djelovanja, osnovne fizičke veličine koja određuje dinamiku sistema. Drugim riječima, zakoni održanja su direktna posljedica postojanja određenih simetrija djelovanja. Ovaj zaključak je postao univerzalno oruđe za identifikaciju takvih zakona u različitim oblastima fizike - od Njutnove mehanike do Standardnog modela elementarnih čestica. Osim toga, može se smatrati jednim od najljepših teorijskih uvida u cjelokupnoj istoriji nauke.

Hilbert je izveo jednačine opšte relativnosti na osnovu principa da u realnim fizičkim procesima akcija poprima ekstremnu vrednost – po pravilu dostiže minimum. U to vrijeme su već znali da je ovaj princip omogućio dobivanje jednadžbi i klasične mehanike i Maxwellove elektrodinamike - i još mnogo toga. Stoga se smatralo moćnim alatom za konstruisanje jednačina koje određuju dinamiku različitih fizičkih sistema. S njim je radila i Emmy Noether. Zanimale su je operacije koje transformišu matematičke objekte uključene u izračunavanje radnje, ali ostavljaju njegovu brojčanu vrijednost nepromijenjenom - ili, općenito, ne mijenjaju ovu vrijednost ne previše (naravno, postoji precizna matematička definicija za ovo „ne previše ”). To znači da takve operacije ostavljaju akciju nepromjenjivom.

Invarijantnost u odnosu na određenu transformaciju ili na čitavu klasu transformacija naziva se simetrija. Emmy Noether je u svom radu postavila pitanje do kakvih posljedica dovodi prisustvo određenih simetrija u radnji.

Ona je ovaj problem riješila u vrlo općenitom obliku, ali samo za kontinuirane simetrije: nije razmatrala diskretne. Matematika je već imala efikasan alat za proučavanje takvih simetrija u obliku Lijevih grupa. Njihova teorija je bila dobro razvijena i Noether ju je dobro razumjela.

Emmy Noether je proučavala transformacije simetrije u kojima djeluju dvije vrste Lieovih grupa. U jednom slučaju, svaka transformacija (tj. svaki element Lie grupe) je definirana konačnim skupom numeričkih parametara. Elementi Lieovih grupa drugog tipa, naprotiv, zavise od jednog ili drugog broja proizvoljnih funkcija. Na primjer, rotacije u ravni su specificirane jednim parametrom (ugao rotacije), a rotacije u trodimenzionalnom prostoru su specificirane sa tri (svaka od njih se može predstaviti kao niz rotacija oko tri koordinatne ose). Ajnštajnova opšta relativnost zasniva se na sposobnosti proizvoljnog odabira lokalnog referentnog okvira u bilo kojoj tački prostor-vremena. Ovo je također vrsta simetrije, i to upravo ona koju je Emmy Noether svrstala u drugu vrstu.

Noetherova teorema se sastoji od dva dijela. Najprije je razmatrala posljedice invarijantnosti akcije prema simetrijama, koje odgovaraju grupnim transformacijama prvog tipa. Pokazalo se da takva invarijantnost omogućava zapisivanje matematičkih odnosa koji se mogu tumačiti kao zakoni održanja za fizičke veličine koje zadovoljavaju ove simetrije. Jednostavno rečeno, ovi zakoni su direktne posljedice određenih simetrija.

Evo nekoliko primjera. U izolovanom sistemu čestica koji se povinuju Njutnovskoj mehanici i Njutnovskoj teoriji gravitacije, akcija je invarijantna prema vremenskim pomacima. Iz Noetherove teoreme slijedi da ukupna energija čestica ne ovisi o vremenu, odnosno da je očuvana. Na isti način, invarijantnost u odnosu na proizvoljne pomake u prostoru znači očuvanje ukupnog impulsa, a invarijantnost u odnosu na rotacije znači očuvanje ugaonog momenta.

Naravno, ovi zakoni su bili poznati i ranije, ali je njihova priroda ostala tajanstvena; ako hoćeš, misteriozan. Noetherov teorem jednom za svagda uklonio je veo s ove misterije, povezujući zakone očuvanja sa simetrijama prostora i vremena.

Evo još jednog primjera koji je ostvaren nakon pojave kvantne elektrodinamike. Do sada smo govorili o spoljašnjim simetrijama koje se ne odnose direktno na fizički sistem, već na njegove odnose sa vremenom i prostorom. Međutim, Noetherov teorem nam također omogućava da uzmemo u obzir unutarnje simetrije, drugim riječima, simetrije fizičkih polja, čija je dinamika određena jednom ili drugom akcijom (formalno, to su simetrije matematičkih konstrukcija koje predstavljaju ova polja). To također dovodi do otkrića različitih zakona očuvanja.

Ograničiću se na jedan primjer. Akcija za slobodni relativistički elektron, na osnovu koje se može izvesti Diracova jednačina, ne mijenja se kada se valna funkcija transformira, što se svodi na njeno množenje kompleksnim brojem jediničnog modula. Fizički, to znači promjenu faze valne funkcije za konstantnu vrijednost koja ne ovisi o prostorno-vremenskim koordinatama (ova simetrija se naziva globalna). Geometrijski, ova transformacija je ekvivalentna rotaciji ravnine kroz proizvoljan, ali fiksni ugao i stoga je opisana vrlo jednostavnom jednoparametarskom Lievom grupom. Iz Noetherove teoreme slijedi da je, zbog ove simetrije, električni naboj očuvan. Nije slab rezultat i svakako nije trivijalan!

Noetherova druga teorema opisuje situacije kada transformacije simetrije koje ostavljaju akciju invarijantnom ne zavise od numeričkih parametara, već od nekih proizvoljnih funkcija. U opštem slučaju, takva invarijantnost ne omogućava formulisanje zakona održanja fizički merljivih veličina. Konkretno, iz Noetherove druge teoreme slijedi da u općoj relativnosti ne postoje univerzalni zakoni održanja energije, količine gibanja i ugaonog momenta koji bi imali nedvosmisleno značenje u fizički realnim (to jest, ne beskonačno malim) područjima prostor-vremena. Istina, postoje posebni slučajevi kada se u okviru opšte teorije relativnosti može ispravno postaviti pitanje očuvanja energije. Međutim, općenito, rješenje ovog problema zavisi od toga šta se tačno smatra energijom gravitacionog polja i u kom smislu govorimo o njegovom očuvanju. Štaviše, ukupna energija čestica koje se kreću u prostoru sa dinamičkim gravitacionim poljem (drugim rečima, u prostoru sa promenljivom metrikom) nije očuvana. Dakle, u našem svemiru koji se širi, fotoni kosmičkog mikrotalasnog pozadinskog zračenja neprestano gube energiju - to je dobro poznati fenomen kosmološkog crvenog pomaka.

Simetrije Noetherove druge teoreme stalno se koriste u fundamentalnoj fizici. Oni omogućavaju uspostavljanje korespondencije između svojstava čestica i polja s kojima te čestice mogu komunicirati. Opet - nimalo slabo! Nije slučajno što je poznati američki teorijski fizičar, profesor na Univerzitetu Kalifornije Anthony Zee, u svojoj monografiji “Teorija grupe ukratko za fizičare” objavljenoj 2016. godine, nazvao Emmy Noether vjerovatno najdubljom ženom fizičarkom koja je ikada živjela. Tako visoka ocjena - i to samo zbog jednog članka!

Emmy Noether se zasluženo smatra velikim matematičarem - i to ne samo zbog svoje teoreme. Od 1920. godine bavila se apstraktnom algebrom i algebarskom geometrijom, gdje je dobila mnoge fundamentalne rezultate. Godine 1933. protjerana je iz Getingena kao Jevrejka i preselila se u Sjedinjene Države, gde je zauzela poziciju na ženskom koledžu Bryn Mawr u Pensilvaniji. Ali nije imala dugo života. 14. aprila 1935. Emmy Noether je umrla od komplikacija nakon operacije, najvjerovatnije od teške infekcije.

Biografija Emmy Noether se lako čita i ne treba je prepričavati. Ali postoji zanimljiv detalj koji malo ljudi zna. Noether je u Bryn Mawr pozvala dekanica odsjeka za matematiku, Anna Pell Wheeler. Njen naučni mentor i prvi suprug bio je Alexander Pell, profesor matematike na Univerzitetu Južna Dakota, koji je tada već bio preminuo. Međutim, Pell nije uvijek bio Pell. Rođen je 1857. godine u Moskvi, a tada se zvao Sergej Petrovič Degajev. Ušao je u istoriju ruskog revolucionarnog podzemlja kao najveći izdajnik i provokator, koji je Veru Figner i druge članove Narodne Volje predao tajnoj policiji. Kasnije, kako bi izbjegao smrt od ruku svojih bivših drugova, pomogao im je u ubistvu svog kustosa, žandarmskog potpukovnika Georgija Porfijeviča Sudeikina (ova priča je detaljno opisana u romanu Jurija Davidova "Mrtvo vrijeme opadanja lišća" ). Članovi Narodne Volje koji su ostali slobodni dozvolili su Degaevu da ode u Ameriku, gde je promenio ime i pretvorio se u Pela. U Sjedinjenim Državama je stekao matematičko obrazovanje, zatim završio postdiplomske studije na Univerzitetu Johns Hopkins u Baltimoru i na kraju postao veoma ugledan konzervativni gospodin i odličan učitelj. Ispostavilo se da je za dovođenje Emmy Noether u Sjedinjene Države bilo potrebno da se zli genije Narodne Volje pretvori u uglednog američkog profesora koji je primijetio i unaprijedio nadarenog studenta iz dubokih provincija. Savršen primjer onoga što se naziva ironijom istorije.

Hajde da precizno formulišemo i dokažemo Noetherov teorem.

Razmotrimo neki sistem opisan Lagrangeovom funkcijom

Oblik Lagrange-Eulerovih jednadžbi dobivenih iz varijacionog principa s takvom Lagrangeovom funkcijom je invarijantan prema transformacijama oblika, kao i prema općim transformacijama

uključujući zamjenu nezavisne varijable. Međutim, konkretan oblik za novi izraz za akciju, kao funkcional novih koordinata u zavisnosti od novog vremena, može pretrpjeti bilo kakve promjene s takvom promjenom.

Noetherov teorem zanima samo u slučaju kada se takve promjene ne događaju.

Koristeći (4), dobijamo:

Neka transformacije budu takve da

one. formiranje jednoparametarske grupe. Razmotrimo infinitezimalnu transformaciju koja odgovara parametru.

Zapravo, varijacije generaliziranih koordinata koje se javljaju tijekom transformacije koja se razmatra su razlika između vrijednosti novih koordinata u nekom trenutku novog vremena i vrijednosti starih koordinata u odgovarajućem trenutku starog vremena , tj.

Uz njih, zgodno je uvesti u razmatranje varijacije forme

ovisnosti koordinata o vremenu koje su različite od nule, čak i ako naša transformacija utječe samo na vrijeme, a ne na koordinate.

Za bilo koju funkciju vrijedi sljedeća relacija:

Tada postoji odnos između dva uvedena tipa varijacija, koji se može dobiti na sljedeći način: oduzmite jednačinu (9) od (8), dobijamo:

uzmimo to u obzir

onda imamo:

Varijacije bez zvjezdica koje se odnose na istu vrijednost argumenata su promjenjive s diferencijacijom u vremenu

dok za varijacije sa zvjezdicama to, općenito govoreći, nije istina.

Odgovarajuće dvije vrste varijacija mogu se uvesti za bilo koju dinamičku varijablu. Na primjer, za Lagrangeovu funkciju

gdje uključuje diferencijaciju i po eksplicitno uključenom vremenu i po vremenu uključenom implicitno, kroz koordinate i brzine.

Sada zahtijevamo da se integral akcije ne mijenja pod našom transformacijom - ovo je izuzetan slučaj koji zahtijevaju uslovi teoreme - tj. to je bilo

Gdje T"- isti domen integracije kao T u drugom integralu, ali izraženo kroz nove varijable. Zatim, zamjenom (11) u (13), dobijamo

Izražavamo u (15) do (11) i uzimajući u obzir relaciju, prelazimo na integraciju preko t umjesto t", dobijamo:

S obzirom na to

Dobijamo: (15)

Nađimo diferencijal

Zamjenom (17) u (16) dobivamo:

Pod znakom prvog zbira nalazi se Lagrangeova jednadžba, tj.