Jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac. Jednadžbe ravnine: opće, kroz tri točke, normala Napišite jednadžbe ravnine

Promotrimo ravninu Q u prostoru. Njen položaj je potpuno određen zadavanjem vektora N okomitog na tu ravninu i neke fiksne točke koja leži u ravnini Q. Vektor N okomit na ravninu Q naziva se vektor normale te ravnine. Ako s A, B i C označimo projekcije vektora normale N, tada

Izvedimo jednadžbu ravnine Q koja prolazi kroz zadanu točku i ima zadani vektor normale. Da bismo to učinili, razmotrimo vektor koji povezuje točku s proizvoljnom točkom ravnine Q (slika 81).

Za bilo koji položaj točke M na ravnini Q, vektor MXM okomit je na vektor normale N ravnine Q. Dakle, skalarni produkt Zapišimo skalarni produkt u terminima projekcija. Od , i vektor , onda

i zbog toga

Pokazali smo da koordinate bilo koje točke Q ravnine zadovoljavaju jednadžbu (4). Lako je vidjeti da koordinate točaka koje ne leže na ravnini Q ne zadovoljavaju ovu jednadžbu (u potonjem slučaju, ). Dakle, dobili smo traženu jednadžbu ravnine Q. Jednadžbu (4) nazivamo jednadžbom ravnine koja prolazi kroz zadanu točku. Ona je prvog stupnja u odnosu na trenutne koordinate

Dakle, pokazali smo da svaka ravnina odgovara jednadžbi prvog stupnja s obzirom na trenutne koordinate.

Primjer 1. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor.

Riješenje. ovdje . Na temelju formule (4) dobivamo

ili, nakon pojednostavljenja,

Dajući koeficijentima A, B i C jednadžbe (4) različite vrijednosti, možemo dobiti jednadžbu bilo koje ravnine koja prolazi točkom . Skup ravnina koje prolaze kroz datu točku naziva se skup ravnina. Jednadžba (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koje vrijednosti, naziva se jednadžba skupa ravnina.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz tri točke, (slika 82).

Riješenje. Napišimo jednadžbu za skup ravnina koje prolaze kroz točku

KUT IZMEĐU RAVNINA

Razmotrimo dvije ravnine α 1 i α 2 dane redom jednadžbama:

Pod, ispod kutak između dvije ravnine mislimo na jedan od diedarskih kutova koje te ravnine čine. Očito je da je kut između normalnih vektora i ravnina α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susjednih diedarskih kutova odn. . Zato . Jer I , To

Primjer. Odredite kut između ravnina x+2g-3z+4=0 i 2 x+3g+z+8=0.

Uvjet paralelnosti dviju ravnina.

Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, pa stoga .

Dakle, dvije ravnine su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uvjet okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravnine okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa prema tome, ili .

Tako, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTORU.

VEKTORSKA JEDNADŽBA IZRAVNA.

PARAMETRIJSKE JEDNADŽBE DIRECT

Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem bilo koje njegove fiksne točke M 1 i vektor paralelan s tim pravcem.

Vektor paralelan pravoj crti zove se vođenje vektor ove linije.

Pa neka ravno l prolazi kroz točku M 1 (x 1 , g 1 , z 1) koji leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Promotrimo proizvoljnu točku M(x,y,z) na ravnoj liniji. Sa slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, pa postoji takav broj t, što , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju brojčanu vrijednost ovisno o položaju točke M na ravnoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora točaka M 1 i M redom, kroz i , dobivamo . Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravne linije. Pokazuje da svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke točke M ležeći na ravnoj liniji.

Ovu jednadžbu zapisujemo u koordinatnom obliku. Primijeti da , a odavde

Dobivene jednadžbe nazivaju se parametarski jednadžbe ravnih linija.

Prilikom promjene parametra t promjene koordinata x, g I z i točka M kreće se pravocrtno.

KANONIČKE JEDNADŽBE IZRAVNE

Neka M 1 (x 1 , g 1 , z 1) - točka koja leži na ravnoj liniji l, I je njegov vektor smjera. Ponovno uzmite proizvoljnu točku na ravnoj liniji M(x,y,z) i razmotriti vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, stoga njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne

– kanonski jednadžbe ravnih linija.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe pravca mogu dobiti iz parametarskih jednadžbi eliminacijom parametra t. Doista, iz parametarskih jednadžbi dobivamo ili .

Primjer. Napiši jednadžbu pravca na parametarski način.

Označiti , stoga x = 2 + 3t, g = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka pravac bude okomit na jednu od koordinatnih osi, na primjer, os Vol. Tada je vektor smjera pravca okomit Vol, stoga, m=0. Posljedično, parametarske jednadžbe ravne linije poprimaju oblik

Eliminiranje parametra iz jednadžbi t, dobivamo jednadžbe ravne linije u obliku

Međutim, iu ovom slučaju pristajemo formalno napisati kanonske jednadžbe pravca u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je pravac okomit na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanoničke jednadžbe odgovara ravnoj liniji okomitoj na osi Vol I Joj ili paralelne osi Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNADŽBE DIREKTNA CRTA KAO SJEČIŠTE DVIJE RAVNINE

Kroz svaki pravac u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, sijekući se, definiraju ga u prostoru. Stoga su jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, jednadžbe ovog pravca.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravnine dane općim jednadžbama

odrediti njihovu sjecišnu liniju. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno.

Primjeri.

Konstruirajte ravnu liniju zadanu jednadžbama

Za konstrukciju pravca dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke. Najlakši način je odabrati točke sjecišta pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, točka presjeka s ravninom xOy dobivamo iz jednadžbi ravne linije, uz pretpostavku z= 0:

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo točku M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom g= 0, dobivamo točku presjeka pravca s ravninom xOz:

Od općih jednadžbi pravca može se prijeći na njegove kanoničke ili parametarske jednadžbe. Da biste to učinili, morate pronaći neku točku M 1 na pravcu i vektor smjera pravca.

Koordinate točke M 1 dobivamo iz ovog sustava jednadžbi, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Prema tome, za vektor smjera pravca l možete uzeti umnožak normalnih vektora:

Primjer. Navedite opće jednadžbe pravca kanonskom obliku.

Pronađite točku na ravnoj liniji. Da bismo to učinili, odabiremo proizvoljno jednu od koordinata, na primjer, g= 0 i riješite sustav jednadžbi:

Normalni vektori ravnina koje definiraju pravac imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. Stoga, l: .

KUT IZMEĐU PRAVACA

kutak između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.

Neka su u prostoru date dvije ravne linije:

Očito, kut φ između pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

U ovom ćemo članku govoriti o tome kako je jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomita na danu ravnu liniju. Prvo ćemo analizirati princip nalaženja jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnicu, nakon čega ćemo detaljno analizirati rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Navigacija po stranici.

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac.

Postavimo si sljedeći zadatak.

Neka je Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, zadana je točka, pravac a i potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Prvo, zapamtimo jednu važnu činjenicu.

Na nastavi geometrije Srednja škola dokazuje se teorem: kroz zadanu točku u trodimenzionalnom prostoru prolazi jedna ravnina, okomita na zadani pravac (dokaz ovog teorema možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10.-11. razred, navedenom u popisu literature na kraj članka).

Sada ćemo pokazati kako se nalazi jednadžba ove pojedinačne ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na danu liniju.

U uvjetu zadatka zadane su koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina. Zatim, ako nađemo koordinate vektora normale ravnine, tada možemo sastaviti traženu jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnicu.

Primjeri sastavljanja jednadžbe ravnine koja prolazi zadanom točkom okomito na zadani pravac.

Razmotrimo rješenja nekoliko primjera u kojima je pronađena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac.

Primjer.

Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i okomita je na koordinatni pravac Oz.

Riješenje.

Vektor smjera koordinatne linije Oz očito je koordinatni vektor . Tada vektor normale ravnine, čiju jednadžbu trebamo sastaviti, ima koordinate. Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i ima normalni vektor s koordinatama:
.

Pokažimo drugi način rješavanja ovog problema.

Ravnina okomita na koordinatni pravac Oz definira nepotpunu opću jednadžbu ravnine oblika . Nađimo vrijednosti C i D na kojima ravnina prolazi kroz točku zamjenom koordinata ove točke u jednadžbu: . Dakle, brojevi C i D povezani su relacijom . Uzimajući C=1 , dobivamo D=-5 . Pronađene C=1 i D=-5 zamijenimo u jednadžbu i dobijemo željenu jednadžbu ravnine koja je okomita na pravac Oz i prolazi točkom . Izgleda kao .

Odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac .

Riješenje.

Budući da je ravnina čiju jednadžbu trebamo dobiti okomita na pravac , tada se vektor normale ravnine može uzeti kao vektor usmjeravanja zadane prave. Zatim . Ostaje napisati jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i ima vektor normale : . Ovo je tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz ishodište okomito na zadani pravac.

Odgovor:

Primjer.

Dvije točke i dane su u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru. Ravnina prolazi točkom A okomito na pravac AB. Napiši jednadžbu ravnine u segmentima.

Riješenje.

Opća jednadžba ravnine koja prolazi točkom i ima vektor normalne ravnine , bit će napisano kao .

Ostaje prijeći na traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

.

Odgovor:

Zaključno, napominjemo da postoje zadaci u kojima je potrebno napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine koje se sijeku. Zapravo, rješenje ovog problema svodi se na sastavljanje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnu liniju, budući da dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju. U ovom slučaju, glavna poteškoća je proces pronalaženja koordinata normalnog vektora ravnine, čiju jednadžbu treba sastaviti.

Prema tome, vektor je vektor normale ravnine okomite na pravac a . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i ima normalni vektor :
.

Ovo je željena jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na danu ravnu liniju.

Odgovor:

Bibliografija.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. Razredi 7 - 9: udžbenik za obrazovne ustanove.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za razrede 7-11 obrazovnih ustanova.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi svezak: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Ovaj članak daje ideju kako napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na danu liniju. Analizirajmo gornji algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac

Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Zadana je i točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi kroz točku M 1 okomito na pravac a. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine α.

Prije nego što prijeđemo na rješavanje ovog problema, prisjetimo se geometrijskog teorema iz programa za 10. – 11. razred koji glasi:

Definicija 1

Jedna ravnina prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru i okomita je na danu liniju.

Sada razmislite kako pronaći jednadžbu ove jedne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita je na dani pravac.

Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada toj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uvjetom zadatka zadane su koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Odredimo li koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati željenu jednadžbu.

Vektor normale ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomitom na ravninu α, bit će svaki usmjerivač pravca a. Dakle, problem određivanja koordinata vektora normale ravnine α pretvara se u problem određivanja koordinata vektora usmjerivača pravca a .

Određivanje koordinata vektora usmjeravanja ravne crte a može se provesti različitim metodama: to ovisi o varijanti postavljanja ravne crte a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u uvjetu problema dan kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tada će vektor usmjeravanja pravca imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a prikazan dvjema točkama M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac:

Odredite koordinate vektora usmjeravanja pravca a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate vektora usmjerivača pravca a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x, B = a y, C = a z;

Napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalni vektor n→=(A, B, C) u obliku A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. To će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.

Rezultirajuća opća jednadžba ravnine: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.

Riješimo neke primjere koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.

Riješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Dakle, vektor normale ravnine ima koordinate (0 , 0 , 1) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5) čiji normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odgovor: z - 5 = 0 .

Razmotrite drugi način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravnina koja je okomita na pravac O z bit će dana nepotpunom općom jednadžbom ravnine oblika S z + D = 0 , C ≠ 0 . Definirajmo vrijednosti C i D: one za koje ravnina prolazi kroz datu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbi C z + D = 0 , dobivamo: C · 5 + D = 0 . Oni. brojevi, C i D su povezani sa - D C = 5 . Uzimajući C \u003d 1, dobivamo D \u003d - 5.

Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijete traženu jednadžbu za ravninu okomitu na liniju O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5) .

To će izgledati kao: z - 5 = 0.

Odgovor: z - 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riješenje

Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vodeći vektor zadane ravne crte može uzeti kao normalni vektor n → zadane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku O (0, 0, 0) i ima normalni vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište okomito na zadani pravac.

Odgovor:- 3x - 7y + 2z = 0

Primjer 4

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u trodimenzionalnom prostoru, on sadrži dvije točke A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4) . Ravnina α prolazi točkom A okomito na pravac AB.Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine α u segmentima.

Riješenje

Ravnina α je okomita na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora određene su kao razlika odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednadžba ravnine bit će zapisana u sljedećem obliku:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavljamo željenu jednadžbu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev da se napiše jednadžba za ravninu koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomito na danu liniju, jer dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju.

Primjer 5

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem je točka M 1 (2, 0, - 5) . Zadane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0 koje se sijeku po ravnoj liniji a . Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Riješenje

Odredimo koordinate vektora usmjerivača pravca a . Okomit je i na vektor normale n 1 → (3 , 2 , 0) ravnine n → (1 , 0 , 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 ravnine x + 2 z - 1 = 0.

Zatim vektor usmjerivač α → pravac a uzimamo vektorski produkt vektora n 1 → i n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Dakle, vektor n → = (4, - 6, - 2) bit će vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapisujemo željenu jednadžbu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo dobili opću jednadžbu ravnine, analiziramo ravninu koja prolazi kroz datu točku.

Neka postoje tri koordinatne osi koje su nam već poznate u prostoru - Vol, Joj I Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravnina će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka P proizvoljna ravnina u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru različitom od nule.

Ako je poznata bilo koja točka ravnine P i neki vektor normale na nju, onda je ta dva uvjeta ravnina u prostoru potpuno određena(kroz zadanu točku prolazi samo jedna ravnina okomita na zadani vektor). Opća jednadžba ravnine će izgledati ovako:

Dakle, postoje uvjeti koji postavljaju jednadžbu ravnine. Da to sam dobijem jednadžba ravnine, koji ima gornji oblik, uzimamo u avion P proizvoljan točka M s promjenjivim koordinatama x, g, z. Ova točka pripada ravnini samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uvjetu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni produkt tih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je zadan uvjetom. Koordinate vektora nalazimo po formuli :

Sada, koristeći formulu točkastog produkta vektora , izražavamo skalarni produkt u koordinatnom obliku:

Od točke M(x; y; z) odabran proizvoljno na ravnini, tada posljednju jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja leži na ravnini P. Za točku N, ne leži na datoj ravnini, , tj. jednakost (1) je povrijeđena.

Primjer 1 Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom i okomita je na vektor.

Riješenje. Koristimo formulu (1), pogledajte je ponovno:

U ovoj formuli brojevi A , B I C vektorske koordinate i brojeve x0 , g0 I z0 - koordinate točke.

Izračuni su vrlo jednostavni: te brojeve zamijenimo formulom i dobijemo

Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji su bez slova). Proizlaziti:

Pokazalo se da je tražena jednadžba ravnine u ovom primjeru izražena općom jednadžbom prvog stupnja s obzirom na varijabilne koordinate x, y, z proizvoljna točka ravnine.

Dakle, jednadžba oblika

nazvao opća jednadžba ravnine .

Primjer 2 Konstruirajte u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu ravninu zadanu jednadžbom .

Riješenje. Za konstruiranje ravnine potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njezine točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, npr. točke presjeka ravnine s koordinatnim osima.

Kako pronaći te točke? Da biste pronašli točku sjecišta s osi Oz, trebate zamijeniti nule umjesto x i y u jednadžbi danoj u izjavi problema: x = g= 0 . Stoga, dobivamo z= 6 . Dakle, data ravnina siječe os Oz u točki A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo točku presjeka ravnine s osi Joj. Na x = z= 0 dobivamo g= −3 , odnosno točku B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo točku presjeka naše ravnine s osi Vol. Na g = z= 0 dobivamo x= 2 , odnosno točku C(2; 0; 0) . Prema dobivenim trima točkama u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) gradimo zadanu ravninu.

Razmislite sada posebni slučajevi opće jednadžbe ravnine. To su slučajevi kada neki koeficijenti jednadžbe (2) nestaju.

1. Kada D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate točke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednadžbu.

2. Kada A= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s osi Vol, budući da je vektor normale ove ravnine okomit na os Vol(njegova projekcija na os Vol jednaka nuli). Slično tome, kada B= 0 avion paralelna os Joj, i kada C= 0 avion paralelno s osi Oz.

3. Kada A=D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz os Vol jer je paralelna s osi Vol (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz os Joj, a ravnina kroz os Oz.

4. Kada A=B= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom ravninom xOy jer je paralelan s osima Vol (A= 0) i Joj (B= 0). Isto tako, ravnina je paralelna s ravninom yOz, a avion - avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednadžba (ili z= 0) definira koordinatnu ravninu xOy, budući da je paralelna s ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Slično, jednadžba y= 0 u prostoru definira koordinatnu ravninu xOz, i jednadžba x= 0 - koordinatna ravnina yOz.

Primjer 3 Sastavite jednadžbu ravnine P prolazeći kroz os Joj i točka .

Riješenje. Dakle, ravnina prolazi kroz os Joj. Dakle, u njezinoj jednadžbi g= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A I C koristimo činjenicu da točka pripada ravnini P .

Stoga među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine, koju smo već izveli (). Pogledajmo ponovno koordinate točke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3. Zamjenjujemo ih u opću jednadžbu i dobivamo jednadžbu za naš poseban slučaj:

2A + 3C = 0 .

Ostavljamo 2 A na lijevu stranu jednadžbe prenosimo 3 C na desnu stranu i dobiti

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednadžbu, dobivamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u uvjetu primjera.

Riješite sami zadatak na jednadžbama ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Odredite ravninu (ili ravnine ako ih je više) u odnosu na koordinatne osi ili koordinatne ravnine ako je ravnina(e) dana jednadžbom .

Rješenja tipičnih problema koji su kontrolni rad- u priručniku "Zadaci na ravnini: paralelnost, okomitost, presjek triju ravnina u jednoj točki" .

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke

Kao što je već rečeno, nužan i dovoljan uvjet za konstruiranje ravnine, osim jedne točke i vektora normale, jesu i tri točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.

Neka se daju tri različite točke , I , Ne leže na istoj ravnoj liniji. Budući da te tri točke ne leže na jednoj ravnoj liniji, vektori i nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka ravnine leži u istoj ravnini s točkama , i ako i samo ako su vektori , i komplanaran, tj. ako i samo ako mješoviti proizvod ovih vektora jednaka nuli.