Sistemin her simetri özelliği karşılık gelir. Amalia (Emmy) Noether, Taçsız Kraliçe

Tam yüz yıl önce, Göttingen Matematik Topluluğu'nun bir seminerinde, zamanla matematiksel ve teorik fizikte en önemli araç haline gelen bir teorem sunuldu. Fiziksel bir sistemin her sürekli simetrisini belirli bir koruma yasasıyla birleştirir (örneğin, yalıtılmış bir parçacık sisteminde süreçler zaman kaymasına göre değişmezse, o zaman bu sistemde enerjinin korunumu yasası karşılanır). Emmy Noether bu teoremi kanıtladı - ve bu sonuç, soyut cebir üzerine yapılan en önemli çalışmalarla birlikte, birçok kişinin Noether'i matematik tarihindeki en büyük kadın olarak görmesine haklı olarak olanak tanıyor.

Tarihsel dernekler

Başlangıç ​​​​olarak, ana konudan küçük ama öğretici bir alıntıyla başlayalım. Yirminci yüzyılın 60'lı yıllarında, MSU öğrencileriyle yaptığı bir toplantıda, olağanüstü Moskova matematikçisi Dmitry Evgenievich Menshov, Moskova Matematik Okulu hakkında konuştu:

« 1914'te Moskova Üniversitesi'ne girdim. Nikolai Nikolaevich Luzin o sırada yurtdışındaydı. Ancak öğrenciler için seminerler düzenleyecekleri konusunda Dmitry Fedorovich Egorov ile anlaştı. Ve 1914'te Dmitry Fedorovich böyle bir ilahiyat okulu düzenledi. Sayı serilerine adanmıştı. Ertesi yıl Nikolai Nikolaevich Moskova'ya döndü ve ilahiyat okulunu kendisi yönetmeye başladı. 1915'te fonksiyonel seriler, 1916'da ise dik seriler üzerinde çalıştık.

Ve sonra bin dokuz yüz on yedi geldi. Hayatımızın çok unutulmaz bir yılıydı; o yıl, tüm gelecek yaşamımızı etkileyen çok önemli bir olay gerçekleşti: çalışmaya başladık. trigonometrik seri... »

Yani Menshov için 1917'nin ana olayı trigonometrik serilerin incelenmesine geçişti! Bazen matematikçilerin etraflarındaki dünyaya dair benzersiz bir algıya sahip olduklarını iddia etmeleri boşuna değil.

Göttingen Üniversitesi'nin ünlü Matematik Fakültesi profesörleri, 1918 Temmuz'unun sonunda olanları benzer şekilde tanımlayabilirdi. Henüz farkına varmamış olsalar da, dünya etraflarında parçalanıyordu. Batı Cephesinde, İkinci Marne Muharebesi şerefsiz bir şekilde sona erdi - Kaiser ordularının son büyük saldırısı, Almanya'nın Büyük Savaş'taki yenilgisinin başlangıcı oldu. 16 Temmuz'da kraliyet ailesi ve küçük maiyeti, Ipatiev Evi'nin bodrumunda öldürüldü. Bu önemli günlerde, daha kesin olarak 23 Temmuz'da, Göttingen Matematik Topluluğu'nun bir seminerine katılanlar, zamanla temel bilimin son derece etkili bir aracına dönüşen bir teorem hakkında bir mesaj duydular. Sonbaharda raporun genişletilmiş ve revize edilmiş metni dergide yayımlandı. Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Sınıf. Değişmez Varyasyonlar problemi başlıklı bu makale, matematiksel ve teorik fiziğin altın fonu arasında yer almaktadır (Almanca orijinali ve İngilizce çevirisi mevcuttur).

Yazarının o zamanlar Alman akademik dünyasında resmi bir statüsü yoktu. Her ne kadar 36 yaşındaki Emmy Noether doktora tezini savunmayı başarmış ve 12 orijinal eser yayınlamış olsa da cinsiyeti Alman üniversite çevrelerine girme olasılığını tamamen engelledi. Özellikle, çalışmasının büyük matematikçi Felix Klein tarafından rapordan üç gün sonra sunulduğu Göttingen Kraliyet Bilim Topluluğu'nun bir üyesi olamadı (ve hatta gelecekte de olamaz). bu toplantıda bile yoktu). Ve daha sonra, zaten yirmili yaşlarda, dünyaca ünlü bir matematikçi haline geldiğinde, aşırı derecede düşük bir maaşla ve Göttingen Üniversitesi'nde çok mütevazı bir pozisyonla yetinmek zorunda kaldı. Belki de bunun sorumlusu Yahudi kökeni ve aşırı solcu görüşleriydi.

Zirveye giden uzun yol

Büyük matematikçiler genellikle benzersiz yeteneklerini erken yaşlardan itibaren sergilerler. Ancak istisnasız hiçbir kural yoktur.

Emmy Noether, 23 Mart 1882'de Bavyera eyaleti Erlangen şehrinde doğdu. 1743'ten bu yana, "özgür" (yani dini mezheplerle ilişkili olmayan) bir Friedrich-Alexander Üniversitesi vardı; o zamanlar Almanya'da bulunan üç üniversiteden biriydi (diğer ikisi daha önce Halle ve Göttingen'de kurulmuştu). Oradaki öğretim iyiydi ama profesörlüğü herhangi bir özel bilimsel başarı ile övünemezdi. Doğru, 1872-75'te genç Felix Klein Erlangen'de çalışıyordu. Göreve geldikten sonra, grup teorisi de dahil olmak üzere soyut cebire dayalı geometrinin radikal bir şekilde yenilenmesi için bir planın ana hatlarını çizen "Yeni Geometrik Araştırmaların Karşılaştırmalı Bir Değerlendirmesi" adlı artık ünlü bir konferans verdi. Bilim tarihine Erlangen Programı olarak geçen bu ders, 19. yüzyılın ikinci yarısında matematiğin gelişimi açısından önemli bir dönüm noktası oldu. Ancak üç yıl sonra Klein, Erlangen'i Münih olarak değiştirdi. Ondan sonra Friedrich-Alexander Üniversitesi'nin kadrosu, iyi de olsa, birinci sınıf olmasa da matematikçilerden oluşuyordu. Bunlardan biri Emmy'nin 1919'a kadar profesörlük yapan babasıydı. Cebirsel geometriyi verimli bir şekilde inceledi, 1870'lerde (tek başına veya işbirliği içinde) çok önemsiz olmayan birkaç teoremi kanıtladı, ancak daha sonra kendisini yalnızca öğretmeye adadı. Zamanla meslektaşının kızının kaderinde önemli bir rol oynayan tanınmış cebirci Paul Gordan da orada ders verdi.

Küçük Emmy çok sıradan bir çocuktu; tatlı ve akıllı bir kızdı ama hiçbir şekilde dahi bir çocuk değildi. Yedi yaşındayken belediyenin kadınlar spor salonuna girdi ve burada iyi çalıştı, ancak pek parlak değildi. Nisan 1900'de devlet sınavlarını geçerek Bavyera Krallığı'ndaki kız okullarında İngilizce ve Fransızca öğretme hakkı kazandı. Ancak o zamanlar kızların tam öğrenci olarak kabul edilmemesi nedeniyle öğretmenlik pozisyonu aramak yerine öğrenci olarak Erlangen Üniversitesi'ne girdi. 1903-04 kışında Göttingen'de bir dönem geçirdi ve burada matematikçi Hermann Minkowski, Felix Klein ve David Hilbert ile astrofizikçi Karl Schwarzschild gibi Alman biliminin yıldızlarından dersler aldı. Erlangen'e döndükten sonra 1904 sonbaharında matematik alanında üniversite diploması aldı. Bu onun Felsefe Fakültesi'nde eğitimine devam etmesine izin verdi; burada Aralık 1907'de Gordan'ın rehberliğinde doktora tezini ve hatta onur derecesiyle - summa cum laude - savundu. Ertesi yıl tezi çok prestijli bir dergide yayınlandı. "Temel ve Uygulamalı Matematik Dergisi" (Matematik Dergisi), kurucusunun adıyla daha çok Crelle's Journal olarak bilinir. Bu onun ilk bilimsel yayınıydı ve çok saygın bir ciltti - 68 sayfa (biraz daha önce, bu çalışmanın üç sayfalık bir özeti, Erlangen Fiziko-Tıp Derneği).

Savunmasının ardından Emmy, üniversitenin Matematik Enstitüsü'nün ücretsiz ve kadrolu çalışanı gibi son derece belirsiz rolüyle yedi buçuk yıl boyunca Erlangen'de kaldı. Birkaç doktora öğrencisine danışmanlık yaptı, bazen öğretim görevlisi olarak babasının yerini aldı ve elbette kendi araştırmasını yaptı. 1909'da Alman Matematik Topluluğu'na üye olarak ilk kurumsal tanınırlığını kazandı.

Yaklaşık 1911 yılına kadar Emmy Noether, tezini hazırlarken uğraştığı sorun yelpazesini genel olarak bırakmadı. Tamamen Paul Gordan'ın bilimsel ilgi alanına giriyorlar. Bu görevler emek yoğun hesaplamalar gerektiriyordu ama ideolojik olarak özel bir şey değildi. Yıllar sonra bunlardan en ufak bir saygı bile duymadan bahsetti ve hatta bir zamanlar kullandığı resmi araçları tamamen unuttuğunu itiraf etti. Ancak geriye dönüp bakıldığında, kazanılan deneyimin onun büyük teoremini kanıtlamada çok yardımcı olduğu açıktır.

Bu daha ayrıntılı olarak üzerinde durmaya değer. Paul Gordan 1860'ların sonlarından itibaren cebirsel değişmezler üzerinde çalıştı ve matematiğin bu alanındaki en önemli uzmanlardan biri oldu. Tarihsel olarak bu çalışmalar, bu sorunlara sayılar teorisi çerçevesinde yaklaşan Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange ve özellikle Carl Friedrich Gauss gibi devlerin çalışmalarına kadar uzanmaktadır. Bu teoride, iki veya daha fazla değişkende herhangi bir dereceden homojen polinomlar olan sözde cebirsel formlar önemli bir rol oynar. Standart gösterimde bunların en basiti şuna benzer:

Nerede X Ve sen- bağımsız değişkenler, A, B Ve İle- sabit katsayılar.

Bu ikili ikinci dereceden bir formdur, diğer bir deyişle iki değişkenin ikinci dereceden bir formudur. Üçlü (yani üç değişkenden X, sen Ve z) ikinci dereceden form benzer görünüyor, yalnızca daha uzun:

Örneğin, ikili kübik formu da yazabilirsiniz:

Daha fazla örnek muhtemelen gereksizdir.

Değişkenler, kaç tane olursa olsun (yani bu değişkenlerin uzayının boyutu ne olursa olsun) doğrusal bir dönüşüme tabi tutulabilir (eskilerinin doğrusal birleşimi olacak yeni değişkenlere geçiş). Geometrik olarak böyle bir dönüşüm, koordinat eksenlerinin her eksen boyunca uzunluk ölçeğinde eş zamanlı bir değişiklikle döndürülmesi anlamına gelir. Yeni değişkenlerde bir form yazarken katsayıları elbette değişir. Ancak en önemlisi, bu katsayıların bazı fonksiyonları ya sayısal değerlerini korur ya da yalnızca değişkenlerin spesifik dönüşümüne bağlı olan ortak bir faktörle çarpılır. Bu fonksiyonlara cebirsel değişmezler denir. Söz konusu faktör bire eşitse değişmeze mutlak denir. İkili ikinci dereceden bir formun değişmezinin (mutlak olmasa da) onun okul cebirinden iyi bilinen diskriminantı \(b^2-ac\) olduğunu göstermek kolaydır. İkili kübik formun halihazırda bir takım değişmezleri vardır. Alman matematikçi Ferdinand Eisenstein tarafından 1844'te bulunan en basiti bile çok daha uzundur: \(3b^2c^2 + 6abcd-4b^3d-4ac^3-a^2d^2\).

Farklı cebirsel form türlerinin, bazen çok sayıda, farklı değişmez ailelerine sahip olduğu açıktır. Boş yere değişmezler teorisinin kralı olarak anılmayan Gordan, uzun yıllar onların hesaplamalarıyla ilgilendi. Tek doktora öğrencisi Emmy Noether'e önerdiği tam olarak bu problemdi (üçlü iki ikinci dereceden bir formun değişmezlerinin tam bir setini bulmak). Üç yüz otuz bir kadar değişmezden oluşan bir liste derleyerek bunu zekice çözdü! Muhtemelen bu işten o kadar yorulmuştu ki, yıllar sonra bunu saçmalık olarak nitelendirdi - yaşlandıkça çok keskin dilli hale geldi.

1910'da Gordan istifa etti. Bir yıl sonra sandalyesini, çok daha modern matematik ilgilerine sahip bir bilim adamı olan Ernst Fischer aldı. Fischer ile iletişim, Emmy Noether'in birçok yeni fikirle, özellikle de soyut cebir ve sürekli gruplar teorisi alanındaki çalışmalarla tanışmasını kolaylaştırdı. Böylece onun bilimsel tutkuları, onun çalışmalarıyla ciddi şekilde ilgilenen David Hilbert ve diğer Göttingenli matematikçilerin ilgi alanlarına yaklaştı. Ve öyle oldu ki, 1915 baharında Klein ve Hilbert, Noether'i özel konumunu güvence altına almayı umarak üniversitelerine taşınmaya davet ettiler. Ancak o zaman hiçbir şey çıkmadı. Başvuranın Kasım 1915'te sunduğu rapora rağmen Üniversite Senatosu, "resmi kurallara uyulmaması nedeniyle" Emmy Noether'i onaylamayı reddetti. Bu, 1908'de onaylanan, yalnızca erkeklerin özel yardımcı doçent olabileceği hükmü anlamına geliyordu. Emmy savunucuları Kültür Bakanı'na başvurdu ancak o müdahale etmeyi reddetti. Yaygın bir efsaneye göre Gilbert, bu bağlamda meslektaşlarına, üniversite henüz bir hamam olmadığı için adayın cinsiyetinin özel yardımcı doçentlik pozisyonunu almasına neden engel teşkil edebileceğini anlamadığını söyledi.

Öyle söylese bile (bunun belgelenmiş bir kanıtı yok), zehirli söyleminin hiçbir etkisi olmadı. Üç yıl daha Emmy, Hilbert'in asistanı olarak çalıştı ve bazen onun yerine ders verdi, ancak Erlangen'de olduğu gibi yalnızca kuş lisansıyla. Nihayet privatdozent olması ancak 1919'da, Weimar Cumhuriyeti döneminde oldu ve dört yıl sonra üniversite onu oldukça garip, resmi olmayan olağanüstü profesör (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor) unvanıyla onurlandırdı. Doğru, bu unvan tıpkı özel doçent gibi düzenli maaş hakkı vermiyordu. Bununla birlikte, Hilbert ve Göttingen matematiğinin bir başka yıldızı Richard Courant, üniversitede cebir derslerini almayı başardılar; bu dersler çok mütevazı da olsa (ayda 200-400 puan) hâlâ ücretliydi ve kontratı Prusya Bakanlığı'ndan yıllık onay gerektiriyordu. Bilim, Sanat ve Bilim.aydınlanma. Bu sıfatla Emmy Noether 1933'e kadar Göttingen'de çalıştı. Hitler'in iktidara gelmesinden sonra Yahudi bilim adamları Alman üniversitelerinden atılınca Amerika Birleşik Devletleri'ne taşındı.

Sıraya göre teorem

Emmy Noether'in Göttingen'e gelişinden kısa bir süre sonra, orada onun ilk büyük eserinin başlangıcı olacak olaylar yaşandı. 1915 yazında Albert Einstein, altı dersinde Göttingen'deki meslektaşlarına, daha çok genel görelilik teorisi olarak bilinen (o zamanlar henüz tamamlanmamıştı, ancak zaten tamamlanmak üzere olan) göreceli çekim teorisinin ana fikirlerini tanıttı. Dinleyiciler arasında Einstein'ın fikirleriyle ciddi şekilde ilgilenen Hilbert de vardı. Kasım ayında Einstein, Prusya Bilimler Akademisi'nin dört toplantısında rapor ettiği GR denklemlerinin son versiyonunu yazdı (bkz. GR'nin Yüzüncü Yılı veya "İlk Kasım Devrimi'nin Yıldönümü"). Kısa bir süre sonra Hilbert, Mart 1916'nın sonunda yayınlanan bir makalede bildirdiği en az eylem ilkesine dayanarak bu denklemleri yeniden türetti. Bu sonuç, Einstein'ın orijinal sonucundan daha zariftir ve pek çok ders kitabında, örneğin Landau ve Lifshitz'in "Alan Teorisi"nde haklı olarak yer alır.

Bu çalışma sırasında Hilbert çok ciddi bir sorunla karşılaştı. Yeni yerçekimi teorisinin bizi fiziğin kutsal ineğine, enerjinin korunumu yasasına farklı bakmaya zorladığını fark etti. Newton'un yerçekimi teorisi ve Maxwell'in elektrodinamiği, enerjiyi, uzayda herhangi bir noktada ve zamanda herhangi bir anda (veya özel görelilik dilini kullanırsak, uzay-zamanda herhangi bir noktada) belirlenen ölçülebilir bir fiziksel miktar olarak kabul eder. Einstein'ın teorisinde böyle bir yorum Hilbert'in fark ettiği zorluklarla karşı karşıyadır.

Başlangıç ​​olarak bir açıklama yapalım. Newton yerçekiminin kendi dinamiği yoktur, çünkü yerçekimi alanındaki değişiklikler yalnızca onu yaratan cisimlerin hareketlerinin bir sonucu olarak ortaya çıkar. Elektromanyetik alan ise tam tersine kendi içinde dinamiktir. Enerjiyi aktaran dalga süreçleri mümkündür. Ancak uzayın herhangi bir kapalı bölgesinin sınırlarından geçen elektromanyetik alan enerjisinin toplam akışı, bu hacmin içerdiği toplam enerjinin değişim hızına eşittir. Bu, elektromanyetik enerjinin fiziksel olarak anlamlı bir biçimde korunumu yasasıdır.

Einstein'ın yerçekimi farklı bir konudur. Newton'un aksine dinamiktir ve elektromanyetik alanda olduğu gibi dalga süreçleri de mümkündür. Ancak dinamikleri çok daha karmaşıktır. Genel görelilik denklemleri, aralarında düzgün dönüşümlerin mümkün olduğu rastgele uzay-zaman koordinat sistemleriyle yazılabilir. Bu tür dönüşümler nedeniyle, keyfi olarak seçilen herhangi bir noktada ve onun sonsuz küçük komşuluğunda yerçekimi alanının büyüklüğünü sıfırlamak mümkündür. Fiziksel olarak bu, oraya yerçekimi kuvvetini kaydedemeyecek hayali bir gözlemci koyabileceğiniz anlamına gelir (bu, Einstein'ın eşdeğerlik ilkesidir). Buradan genel göreliliğe göre enerjinin kesin olarak lokalizasyonunun prensipte imkansız olduğu sonucu çıkar. Korunumu yasasıyla ne yapılacağı sorusu Hilbert'i çok rahatsız etti ve Emmy Noether'den bu konuyu çözmesini istedi. Noether'i teoremine yönlendiren de bu problemdi.

Elbette Hilbert seçimini bir boşlukta yapmadı. Noether'in cebirsel değişmezleri hesaplamada matematiksel yeteneğini ne kadar parlak bir şekilde gösterdiğini biliyordu. Fiziksel niceliklerin (özellikle enerjinin) korunumu yasalarının karşılandığı koşulların analizi aynı zamanda değişmezlerle, ancak farklı türde - diferansiyel olanlarla çalışmayı gerektiriyordu (bkz: Diferansiyel değişmez). Dolayısıyla Hilbert ve aynı sorunla ilgilenen Felix Klein'ın eski öğrencisinin yardımına güvenmek için her türlü nedeni vardı.

Sadece bu beklentileri karşılamakla kalmadı, aynı zamanda onları aştı. Emmy Noether büyük olasılıkla Hilbert'in görevini 1915 sonbaharında yerine getirmeye başladı. Sonunda son derece güçlü sonuçlar elde etti; bunların kapsamının Hilbert'in başlangıçta ortaya koyduğu problemin kapsamından çok daha geniş olduğu ortaya çıktı. Görünen o ki, bu alan yalnızca genel görelilik ve klasik fiziğin diğer alan teorilerini değil, aynı zamanda yirminci yüzyılın ikinci yarısında geliştirilen kuantize alan teorilerini de içeriyor. Elbette 1918'de böyle bir başarıyı beklemek için hiçbir neden yoktu.

En genel haliyle Noether teoreminin özü, kelimenin tam anlamıyla iki kelimeyle ifade edilebilir. Bilim adamları, doğayı temel düzeyde inceleyerek, fiziksel sistemlerin dahil olduğu süreçler sırasında değişmeden kalan özelliklerini bulmaya çalışırlar. Örneğin gezegenimiz yörüngesinde değişken hızla hareket etmektedir, ancak onu Güneş'e bağlayan hayali bir parça, eşit zaman dilimlerinde eşit alanları tarar (Kepler'in ikinci yasası). Yalıtılmış bir makroskobik sistemin toplam elektrik yükü, hangi iç dönüşümlere uğrarsa uğrasın değişmez; aynı şekilde temel parçacıkların yükleri de mutlak sabitlik açısından farklılık gösterir. Noether teoreminden, bu tür korunmuş özelliklerin varlığının, sistemin dinamiğini belirleyen bazı temel fiziksel niceliklerin simetrileriyle doğrudan ilişkili olduğu sonucu çıkar. Başka bir ifadeyle korunum yasalarının belirli simetrilerin varlığının doğrudan bir sonucu olduğu ortaya çıkıyor. Bu sonuç, Newton mekaniğinden temel parçacıkların modern Standart Modeline kadar fiziğin çeşitli alanlarında bu tür yasaları tanımlamak için en evrensel araç haline geldi. Ayrıca tüm bilim tarihinin en güzel teorik içgörülerinden biri olarak da adlandırılabilir.

Az önce tartışılan niceliğe eylem denir. Spesifik biçimi, davranışını tanımladığı sisteme bağlıdır. Form olarak, eşit derecede temel bir fonksiyonelin (Lagrangian) tek boyutlu veya çok boyutlu bir integralidir. Gerçek fiziksel süreçlerde eylem aşırı bir değer kazanır; çoğu zaman minimum seviyeye ulaşır. Tam olarak en az eylem ilkesi olarak adlandırılmayan bu ifade, sistemin dinamiklerini tanımlayan denklemlerin yazılması için varyasyon hesabı yöntemlerinin kullanılmasına izin verir.

Daha önce de belirtildiği gibi Hilbert, genel görelilik denklemlerini Einstein'dan farklı bir şekilde tam da bu yöntemle elde etti. Elbette, öncelikle eylemin ne olduğunu belirlemesi gerekiyordu ve buna göre başarılı olduğu bu durumda Lagrange'ın neye benzediğini belirlemesi gerekiyordu (neredeyse aynı anda, en az eylem ilkesine dayalı genel görelilik denklemlerinin türetilmesi Hendrik tarafından gerçekleştirildi) Anton Lorentz ve 1916'da Einstein'ın kendisi tarafından). Ayrıntılara girmeden, Hilbert Lagrangian'ın (Einstein-Hilbert eylemi), uzay-zaman sürekliliğinin deformasyonunu belirleyen ve genel göreliliğe göre kendisini yerçekimi kuvveti olarak gösteren metrik tensörün bileşenlerine bağlı olduğunu belirtmek isterim. .

Şimdi Emmy Noether'e dönelim. Makalesi kelimelerle anlatılamayacak kadar yüksek matematik içeriyor. Yapabileceğiniz tek şey genel fikri özetlemek. Hilbert gibi o da en az eylem ilkesiyle çalıştı. Bir eylemin hesaplanmasında yer alan matematiksel nesneleri dönüştüren, ancak sayısal değerini değiştirmeden bırakan - veya daha genel olarak çok fazla değiştirmeyen (elbette, bunun kesin bir matematiksel tanımı vardır) matematiksel işlemlerin sonuçlarıyla ilgileniyordu. bu “fazla değil”). Bu, bu tür işlemlerin eylemi değişmez bıraktığı anlamına gelir. Belirli bir dönüşüm veya hatta tüm dönüşüm sınıfı altındaki değişmezliğe simetri denir. Emmy Noether, çalışmasında belirli simetrilerin bir eylemde varlığının ne gibi sonuçlara yol açtığı sorusunu sordu.

Bu sorunu çok genel bir biçimde çözdü, ancak önemli bir sınırlamayla. Simetri dönüşümleri sürekli veya ayrık olabilir. İlkinin örnekleri, koordinat eksenleri boyunca kaymalar veya keyfi açılarda dönüşlerdir. Aksine, ayrık dönüşümler yalnızca sonlu veya en fazla sayılabilir sayıda değişikliğe izin verir. Örneğin, bir daire geometrik merkezi etrafındaki herhangi bir dönüş sırasında değişmeden kalır ve bir kare yalnızca 90 derecenin katları olan dönüşler sırasında değişmeden kalır. İlk durumda sürekli simetriyle, ikincisinde ise ayrık simetriyle ilgileniyoruz. Her iki simetri de grup teorisi kullanılarak tanımlanır, ancak bunun farklı dalları kullanılır. Fiziğin ilgilendiği ayrık dönüşümler, sonlu sayıda öğeye sahip gruplar teorisini kullanır. Sürekli simetrileri tanımlamak için, büyük Norveçli matematikçi Sophus Lie'nin onuruna Lie grupları adı verilen belirli türden sonsuz gruplar kullanılır. Emmy Noether, korunum yasaları ile sürekli simetriler arasındaki bağlantıyı araştırdı ve bu nedenle çalışmalarında Lie grup teorisini kullandı. Ayrık simetrilerin şu veya bu koruma yasasına da yol açabileceğini belirtmekte fayda var, ancak bu durumda Noether teoremi vazgeçilmezdir.

Geçen yüzyılın ikinci on yılının başlarında, Lie grupları teorisi yalnızca Lie tarafından değil, aynı zamanda diğer matematikçiler, özellikle de Alman Wilhelm Killing ve Fransız Elie Cartan tarafından da iyi bir şekilde geliştirildi. O zamanın fizikçileri pratik olarak buna aşina değildi, ancak Emmy Noether'in Ergangen'de bunu incelemeye zamanı ve isteği vardı. Şimdi bunu kullanıyor ve büyük bir başarıyla.

Emmy Noether, iki tür Lie grubunun işlediği simetri dönüşümlerini inceledi. Bir durumda, her dönüşüm (yani Lie grubunun her elemanı) sonlu (hatta sayılabilir) sayıda sayısal parametreye bağlıdır. İkinci tipteki Lie gruplarının elemanları ise tam tersine, bir veya daha fazla sayıda keyfi fonksiyona bağlıdır. Örneğin, düzlem dönüşleri bir parametreyle (dönme açısı) ve uzaysal dönüşler üç parametreyle (her biri üç koordinat ekseni etrafındaki dönüş dizisi olarak temsil edilebilir) belirlenir. Aksine, Einstein'ın genel göreliliği, denklemlerin tam kovaryansı ilkesine, yani bunları herhangi bir dört boyutlu koordinat sisteminde yazabilme yeteneğine dayanmaktadır (bu, fiziksel olarak herhangi bir noktada keyfi olarak bir yerel referans sistemi seçebilme yeteneği anlamına gelir). boş zaman). Bu aynı zamanda bir simetri türüdür ve kesinlikle Emmy Noether'in ikinci tip olarak sınıflandırdığı simetridir.

Sonuç olarak Noether teoremi iki bölümden oluşur. İlk olarak, birinci tip grup dönüşümlerine karşılık gelen simetriler altında eylemin değişmezliğini değerlendirdi. Böyle bir değişmezliğin, bu simetrileri karşılayan fiziksel nicelikler için korunum yasaları olarak yorumlanabilecek matematiksel ilişkileri yazmayı mümkün kıldığı ortaya çıktı. Basitçe söylemek gerekirse bu yasalar belirli simetrilerin doğrudan sonuçlarıdır.

İşte bazı örnekler. Newton mekaniğine ve Newton yerçekimi teorisine uyan izole edilmiş (yani dış etkilerden arınmış) bir parçacık sistemini ele alalım (koşullu olarak sabit bir yıldızın yörüngesinde dönen gezegenler parçacık gibi davranabilir). Böyle bir sistem için eylem zaman kaymalarına göre değişmez. Noether teoreminden parçacıkların toplam (kinetik ve potansiyel) enerjisinin zamana bağlı olmadığı, yani korunduğu sonucu çıkar. Benzer şekilde, uzaydaki keyfi kaymalara göre değişmezlik, toplam momentumun korunumu anlamına gelir ve dönmelere göre değişmezlik, açısal momentumun korunumu anlamına gelir.

Elbette bu yasalar daha önce biliniyordu, ancak doğaları gizemli, deyim yerindeyse gizemli kaldı. Noether'in teoremi bu gizemin üzerindeki perdeyi kesin olarak kaldırdı ve korunum yasalarını uzay ve zamanın simetrileriyle birleştirdi.

Görelilik mekaniğinin tanımladığı sistemler için de durum benzerdir. Burada ayrı bir zaman ve uzay yoktur; onların yerini Minkowski uzayı olarak bilinen tek bir dört boyutlu uzay-zaman sürekliliği almıştır. Bu tür uzay-zamanın maksimum simetrisi, Poincaré grubu olarak bilinen on parametreli Lie grubu tarafından verilir. Minkowski uzayındaki kaymalara karşılık gelen dört parametreli bir alt gruba sahiptir. Eylemin bu kaymalara göre değişmezliği, bileşenlerinden biri enerjiye ve üçü momentuma karşılık gelen dört boyutlu bir vektörün korunmasına yol açar. Her eylemsiz referans çerçevesinde enerji ve momentumun korunduğu sonucu çıkar (her ne kadar sayısal değerleri farklı çerçevelerde aynı olmasa da).

Tüm bu sonuçlar Noether teoreminin yayınlanmasından hemen sonra açıkça ortaya çıktı. İşte kuantum elektrodinamiği inşa edildiğinde gerçekleşen başka bir örnek. Şimdiye kadar fiziksel sistemin kendisiyle değil, tabiri caizse zaman ve mekanla olan ilişkileriyle ilişkili dış simetrilerden bahsediyorduk. Bununla birlikte, Noether teoremi aynı zamanda iç simetrileri, başka bir deyişle Lagrangian'da "yazılı" fiziksel alanların simetrilerini (kesinliği sevenler için, bu alanları temsil eden matematiksel yapıların simetrilerini) hesaba katmamıza da olanak tanır. Bu olasılık aynı zamanda çeşitli korunum yasalarının keşfedilmesine de yol açmaktadır.

Ünlü Dirac denklemini türetmemizi sağlayan serbest göreli elektronun Lagrangianını alalım. Birim modüllü karmaşık bir sayı ile çarpımına indirgenen dalga fonksiyonunun böyle bir dönüşümüyle değişmez. Fiziksel olarak bu, dalga fonksiyonunun fazında, uzay-zaman koordinatlarına bağlı olmayan sabit bir değerde değişiklik anlamına gelir (bu simetriye küresel denir). Geometrik olarak bu dönüşüm, düzlemin keyfi fakat sabit bir açıyla dönmesine eşdeğerdir. Sonuç olarak, U(1) grubu adı verilen tek parametreli bir Lie grubu tarafından tanımlanır. Büyük matematikçi ve Hilbert'in öğrencisi Hermann Weyl'e kadar uzanan tarihsel gelenek nedeniyle, ayar simetrileri adı verilen büyük bir simetri grubundan biri olarak sınıflandırılır. Noether teoreminden, bu tür bir küresel ayar simetrisinin elektrik yükünün korunumunu gerektirdiği sonucu çıkar. Zayıf bir sonuç değil ve kesinlikle önemsiz değil!

Noether'in ikinci teoremi o kadar şeffaf değil. Eylemi değişmez bırakan simetri dönüşümlerinin sayısal parametrelere değil bazı keyfi işlevlere bağlı olduğu durumları tanımlar. Genel durumda böyle bir değişmezliğin, fiziksel olarak ölçülebilir büyüklüklerin korunumu yasalarını formüle etmeyi mümkün kılmadığı ortaya çıktı. Özellikle, Noether'in ikinci teoreminden, genel görelilik teorisinde, uzayın fiziksel olarak gerçek (yani sonsuz küçük olmayan) bölgelerinde açık bir anlama sahip olacak, enerjinin, momentumun ve açısal momentumun korunumuna ilişkin evrensel yasaların olmadığı sonucu çıkar. zaman. Doğru, genel görelilik çerçevesinde enerjinin korunumu sorununun doğru bir şekilde gündeme getirilebileceği özel durumlar vardır. Ancak genel olarak bu sorunun çözümü, yerçekimi alanının enerjisinin tam olarak ne olarak kabul edildiğine ve onun korunmasından ne anlamda bahsettiğimize bağlıdır. Üstelik uzayda dinamik bir çekim alanıyla (yani değişen bir metrikle uzayda) hareket eden parçacıkların toplam enerjisi korunmaz. Böylece, genişleyen Evrenimizde, kozmik mikrodalga arka plan ışınımının fotonları sürekli olarak enerji kaybediyor; bu, kozmolojik kırmızıya kaymanın iyi bilinen bir olgusudur.

İki kader

Makale girişi Nachrichten Emmy Noether'in bilimsel kariyerini önemli ölçüde ilerletti. Erkek şovenizminin savaş sonrası zayıflamasının arka planına karşı, 21 Mayıs 1919'da Göttingen Üniversitesi Felsefe Fakültesi, bu yayını Privatdozent pozisyonunu elde etmek için gerekli nitelikli tez (Habilitation) olarak kabul etmeyi kabul etti. Bir hafta sonra Noether gerekli sözlü sınavı geçti ve 4 Haziran'da fakültenin matematik bölümü üyelerine deneme dersi verdi. Güz döneminde ilk dersini vermeye başladı.

Bundan sonra Noether teoreminin ve yazarının kaderi kesin bir şekilde farklılaştı. Emmy Noether bir daha asla fizik eğitimi almadı ve tamamen soyut cebire geçti. Hızla gelişen matematiğin bu alanında cebirsel geometri ve halka teorisinde temel, tam anlamıyla temel sonuçlar elde etti. Bunlardan çok uzun süre bahsedebiliriz ama bu tamamen farklı bir hikaye.

Emmy Noether'in Göttingen'deki sakin ve mesleki açıdan yoğun hayatı, Nazilerin gelişiyle yarıda kaldı. Nisan 1933'te Bilim, Sanat ve Eğitim Bakanlığı onun Göttingen Üniversitesi'nde ders verme iznini iptal etti (aynı kararname Courant'ı ve kuantum mekaniğinin yaratıcılarından biri olan Max Born'u profesörlüklerinden mahrum bıraktı). Birkaç ay sonra Emmy Noether, Rockefeller Vakfı'nın yardımıyla Pennsylvania'daki seçkin kadın koleji Bryn Mawr'da öğretmenlik yapmak üzere misafir sözleşmesi aldığı Amerika Birleşik Devletleri'ne göç etti. Şubat 1934'ten itibaren yakındaki bir yerde haftalık dersler vermeye başladı (ancak o zamanlar kadınların tamamen dışlandığı Princeton Üniversitesi'nde değil). Yabancı bir bilim adamı olarak yeni keşfettiği statüsünün avantajından yararlanarak yazın kısa bir süre Göttingen'e gitti ve ardından Almanya'yı sonsuza kadar terk etti. Ama yaşayacak fazla zamanı yoktu. 14 Nisan 1935'te Emmy Noether, büyük olasılıkla ciddi bir enfeksiyon nedeniyle ameliyattan kaynaklanan komplikasyonlar nedeniyle öldü. 5 Mayıs'ta New York Times'ta yayınlanan bir mektupta Albert Einstein şunları kaydetti: "Yaşayan en yetkin matematikçilerin yargısına göre, Fräulein Noether, kadınların yüksek öğreniminin başlamasından bu yana şimdiye kadar üretilmiş en önemli yaratıcı matematik dehasıydı" ("En yetkin modern matematikçilere göre Fraulein Noether, matematiksel yaratıcılığında öyle yüksek bir deha sergiledi ki, kadınlar yüksek öğrenim hakkını elde ettiğinden beri hiç kimse başaramadı."). Dokuz gün önce Hermann Weil onun anısına verdiği bir konferansta şunları söyledi: "O büyük bir matematikçiydi, kendi cinsinin yetiştirdiği en büyük... ve harika bir kadındı" (“O harika bir kadındı ve aynı zamanda en büyük kadın matematikçiydi”).

Hayatı boyunca ve ölümünden kısa bir süre sonra Emmy Noether'e neredeyse yalnızca cebirsel araştırmaları nedeniyle saygı duruşunda bulunuldu. Şimdi ne kadar tuhaf görünse de neredeyse hiç kimse onun büyük teoremini fark etmedi. Elbette bu çalışma, onu Royal Society'ye sunan Hilbert ve Klein tarafından oldukça beğenildi, ancak bu daha ileri gitmedi. Teorik fizik ve özellikle simetri üzerine çok çalışan Hermann Weyl bile 1928'de yayınlanan “Grup Teorisi ve Kuantum Mekaniği” temel monografisinde bundan bahsetmeyi gerekli görmedi. Geçen yüzyılın ilk üçte birinin klasik matematik eserlerinde Emmy Noether'in çalışmalarının tek kısa yeniden anlatımı, ilk olarak 1924'te yayınlanan Courant ve Hilbert'in ünlü "Matematiksel Fizik Yöntemleri" kitabında bulunabilir.

Bu unutuluşun nedenleri uzun uzun tartışılabilir ama asıl konunun çok uzağındayız. Ne olursa olsun, yirminci yüzyılın ortalarına kadar fizikçiler Noether'in makalesine neredeyse hiç değinmediler, ancak sonuçları çok iyi bilinmesine ve birçok kez kullanılmasına rağmen. 50'li yıllarda durum değişti. Bunun temel nedeni, Brookhaven Ulusal Laboratuvarı araştırmacıları Zhenning Yang ve Robert Mills'in 1954 tarihli makalesinin ardından kuantum alan teorilerinde simetrilerin rolüne olan ilginin uyanmasıdır: İzotopik spinin ve izotopik ayar değişmezliğinin korunması. Ortak yazarlar, izotopik spinin ayar simetrisine dayanarak kendi adlarını taşıyan kuantum alanlarını "icat ettiler". Elektrik yükünün korunumunu sağlayan simetrinin aksine, küresel değil yereldi; çalışmalarındaki grup dönüşümlerinin parametrelerinin uzaysal koordinatların fonksiyonları olması anlamında. Bu, Emmy Noether'in ikinci teoremde tartıştığı simetri türüdür.

Bilindiği gibi, 1970'lerde temel parçacıkların Standart Modelini oluşturmayı mümkün kılan, yerel ayar simetrilerindeki ustalıktı; yirminci yüzyılın ikinci yarısının teorik fiziğindeki en ciddi başarısı. Ancak yaratılışından birkaç on yıl önce bile Noether'in teoremi fizik makalelerinde ve monografilerinde alıntılanmaya başlandı. Artık çalışmaları yüksek bir bilim klasiği olarak kabul ediliyor.

Son olarak okuyucuya Emmy Noether'in ikinci teoreminde tartıştığı simetrilerin uygulamasını tatması için başka bir örnek vermek istiyorum. U(1) ayar grubuna dönelim, ama şimdi faz rotasyonunu uzay-zaman koordinatlarının bir fonksiyonu olan bir değişken haline getiriyoruz. Bu durumda küresel değil yerel gösterge dönüşümleriyle uğraşıyoruz. Bunun tam olarak Noether'in ikinci teoreminin tanımladığı türden grup dönüşümleri olduğunu hatırlatmama izin verin.

Dirac Lagrangian'ın kendisi yerel U(1) grubu altında değişmez değildir; dolayısıyla eylem de değişmez. Bununla birlikte, bazı yerel simetrilere de uyan Lagrange'a bir kuvvet alanı eklenirse değişmezlik yeniden sağlanabilir. Bu işlemin sonucunda Lagrangian'da bu alanın elektronlarla etkileşimini tanımlayan ek bir terim otomatik olarak ortaya çıkar. Alanın kendisi elektromanyetik radyasyonun kuantum versiyonudur. Dolayısıyla, Dirac alanı için yerel U(1) ayar simetrisinin gerekliliği, otomatik olarak elektronların, elektromanyetik alan kuantumlarının, yani fotonların değişimi yoluyla etkileşime girdiği sonucuna varır! Ve ek bir bonus olarak, bir ifade daha alıyoruz - bu kuantumların kütlesi sıfırdır!

Bu sonuç farklı şekilde formüle edilebilir. U(1) grubuna göre yerel değişmezliğin varlığı için, korunan yükün kütlesiz bir vektör alanının kaynağı olması gerekir (fotonlar vektör parçacıklarıdır, spini 1 olan parçacıklardır). Bir elektrik yükünün foton üretme yeteneği onun eşsiz özelliğidir. Temel parçacıkların başka korunmuş yükleri de vardır (örneğin baryon ve lepton). Bununla birlikte, deneysel verilerden de anlaşılacağı gibi, bu yükler kütlesiz vektör alanları oluşturmaz; yani deney, fotonların baryon ve leptonik analoglarının varlığını doğrulamaz. Bu yükler U(1) tipinin yerel simetrilerine değil, yalnızca global simetrilerine karşılık gelir.

Bu örnek hiçbir şekilde izole değildir. Noether'in ikinci teoreminin simetrileri, parçacıkların özellikleri ile bu parçacıkların etkileşime girebileceği alanlar arasında temel benzerlikler kurmamıza olanak tanır. Yine - hiç de zayıf değil! Ünlü Amerikalı teorik fizikçi, Kaliforniya Üniversitesi Profesörü Anthony Zee'nin 2016 tarihli monografisi Fizikçiler için Özetle Grup Teorisi'nde Emmy Noether'in büyük olasılıkla şimdiye kadar yaşamış en iyi kadın fizikçi olduğunu belirtmesi tesadüf değildir. . bu dünya ( “Muhtemelen şimdiye kadar yaşamış en derin kadın fizikçi”). Bu kadar yüksek bir derecelendirme - ve sadece tek bir makale yüzünden!

Ve bir ilginç detay daha. Gösterge simetrisi fikri ilk olarak Weyl tarafından aynı 1918'de Berlin'de yayınlanan Gravitation and Electricity makalesinde önerildi. Dolayısıyla teorik fizikteki iki büyük atılımın yüzüncü yılını aynı anda kutlama hakkına sahibiz! Muhakkak ki tanrılar büyük âlimlere karşı merhametlidirler.

Rus izi

Emmy Noether'in Sovyet matematik camiasında pek çok arkadaşı ve hayranı vardı. 1923'te parlak genç topologlar Pavel Alexandrov ve Pavel Uryson Moskova'dan Göttingen'e geldiler ve Noether onların aracılığıyla Rus meslektaşlarıyla bağlantılar kurdu. 1928-29 kışında Moskova Devlet Üniversitesi'nde soyut cebir dersi verdi ve Komünist Akademi'de cebirsel geometri üzerine bir seminer yönetti. Noether Göttingen'den kovulduğunda Alexandrov, ona Moskova Devlet Üniversitesi'nde cebir kürsüsü ayarlamaya çalıştı ancak Halk Eğitim Komiserliği'nin desteğini alamadı. Aksi olsaydı, Moskova'da birinci sınıf bir cebirciler okulu kurabilirdi. Ancak kader farklı bir karar verebilirdi. İyi bir uygulamalı matematikçi olan küçük kardeşi Fritz, SSCB'ye gitti ve burada Tomsk Üniversitesi'nde profesör oldu. 1937 yılı sonunda Alman casusu olduğu gerekçesiyle tutuklandı ve 10 Eylül 1941'de Orel'de vuruldu.

Ancak bazı açılardan Emmy Noether'in Rusya ile bağlantıları çok daha eskilere dayanıyor. Bir zamanlar Göttingen'de eğitim görmüş olan matematik bölümü dekanı Anna Johnson Pell Wheeler tarafından Bryn Mawr'a davet edildi. Bu kadını daha detaylı anlatmaya değer ve asıl özellik sonunda olacak.

İsveçli göçmen bir ailenin kızı olarak dünyaya gelen Anna Johnson, Emmy Noether ile aynı nesil bilim insanlarındandı ve hemen hemen onunla aynı yaştaydı. Mayıs 1883'te Iowa'da doğdu. 1899'da Güney Dakota Üniversitesi'ne kabul edildi ve burada en iyi öğrencilerden biri oldu. Anna, ana hobisine dönüşen Almanca, Fransızca, Latince, kimya, fizik ve matematik alanlarında mükemmel bir eğitim aldı. Matematik profesörü Alexander Pell, soyut düşünme konusundaki olağanüstü yeteneklerini fark eden ve onu matematik eğitimine devam etmeye ikna eden kızla ilgilenmeye başladı. 1903 yılında Anna, memleketi Iowa'daki üniversiteye transfer oldu ve bir yıl sonra burada grup teorisinin doğrusal diferansiyel denklemlere uygulanması üzerine yüksek lisans tezini savundu. Bu çalışmasıyla ünlü Radcliffe Kadın Koleji'nden burs kazandı ve 1905'te bir yüksek lisans derecesi daha aldı. O zaman bile Amerika'nın en umut verici kadın matematikçilerinden biri olarak görülüyordu. 1906'da Anna, eğitimlerine yurtdışında devam etmek isteyen Amerikan kolejlerinden mezun olanlara yönelik prestijli Alice Freeman Palmer Bursu yarışmasını kazandı. Bu onun Göttingen Üniversitesi'nde bir yıl geçirmesine olanak tanıdı ve burada (iki yıl önce) Emmy Noether ile aynı Alman bilim yıldızlarıyla çalıştı. Ana akıl hocası, o zamanlar integral denklemler üzerinde çalışan ve Amerikalı öğrencisine bu hobiyi aşılayan Hilbert'ti. Daha sonra bu alanda ve ilgili fonksiyonel analiz alanında çalıştı.

Alexander Pell, Anna ile sürekli yazıştı ve sonunda ona evlenme teklif etti. 1907 yazında Göttingen'e geldi ve evlendiler. Pell orada gelininin de çevresinde yer aldığı üniversitenin ileri gelenleriyle tanıştı. Çift, Anna'nın diferansiyel denklemler ve fonksiyon teorisi üzerine dersler vermeye başladığı Güney Dakota Üniversitesi'ne döndü. 1908'in çoğunu tekrar Göttingen'de geçirdi ve ardından Chicago Üniversitesi'nde yüksek lisans okuluna girdi. 1910'da doktorasını aldı ve 1911'de yerel bir kolejde matematik öğretmeye başladı.

Bu zamana kadar Pell kendisini Zırh Enstitüsü'nde (şimdi -) bir pozisyon aldığı Chicago'da da buldu. 1911'de felç geçirdikten sonra öğretmenliği bıraktı ve derslerini Anna'ya devretti. Kocasının resmen emekli olduğu 1913 yılına kadar yerini aldı. Yine de Pell, Amerikan Matematik Derneği'nin makalelerini yazmaya ve konferanslarına katılmaya devam etti (en son 1919'da) ve hatta 1915-16 akademik yılında Northwestern Üniversitesi'nde bir dönem dersi verdi.

1918'de Anna Pell Bryn Mawr'a davet edildi ve burada profesör, daha sonra da matematik bölümünün dekanı oldu. Bu zamana kadar uluslararası üne sahip kadın matematikçilerden oluşan küçük galaksiye sağlam bir şekilde girmişti. Ancak Pell bunu görecek kadar yaşamadı: 26 Ocak 1921'de öldü. Anna 1925'te meslektaşı Latince profesörü Arthur Wheeler ile evlendi, ancak 1932'de tekrar dul kaldı. 1948'de emekli oldu ama matematik literatürünü takip etmekten ve seminerlere katılmaktan vazgeçmedi. Mart 1966'da 82 yaşında öldü. İlk kocasının mezarının yanındaki Baptist mezarlığına gömüldü. Anna hala hayattayken, Güney Dakota Üniversitesi'ndeki matematik alanında yetenekli öğrenciler için kendi fonlarından Alexander Pell Bursunu kurdu. Bu fon bugün hala mevcuttur.

Yuri Davydov "Yaprak dökülmesinin ölü zamanı"). Serbest kalan Narodnaya Volya üyeleri, Degaev'in Pell olacağı Amerika'ya gitmesine izin verdi. Amerika Birleşik Devletleri'nde yaşadığı birçok talihsizliğin ardından matematik eğitimi aldı, Baltimore'daki Johns Hopkins Üniversitesi'nde yüksek lisans eğitimini tamamladı ve sonunda Güney Dakota'da bir sandalye kazandı. Dolayısıyla tarihin iblisi, ABD'de Emmy Noether'i kurmak için, "Narodnaya Volya"nın şeytani dehasının, derin taşradan gelen yetenekli bir öğrenciyi fark eden ve terfi ettiren saygın bir Amerikalı profesöre dönüşmesine ihtiyaç duyuyordu. İşte böyle oluyor!

Her insanın bir dereceye kadar simetri fikri vardır. Bu özelliğe, günlük yaşamda önemli bir rol oynayan çeşitli nesneler sahiptir. İnsan elinin birçok eserine hem estetik hem de pratik nedenlerden dolayı simetrik bir şekil verilmiştir. Belki de en simetrik insan ürünü, nasıl döndürülürse döndürülsün hep aynı görünen toptur. Simetri doğada yaygındır - kar tanelerinin altıgen şekli, kristallerin çeşitli geometrik şekilleri, insan vücudunun yaklaşık ayna simetrisi vb.

“Simetri” kavramının genel bir tanımını vermek oldukça zordur. Simetri genellikle güzellikle ilişkilendirilir. “Simetrik, iyi oranlara sahip olan bir şey anlamına gelir ve simetri, tek tek parçaların onları bir bütün halinde birleştiren bir tür tutarlılığıdır. Güzellik simetriyle yakından ilişkilidir” diye yazdı G. Weil. Muhtasar Oxford Sözlüğü simetriyi "...vücudun parçalarının veya herhangi bir bütünün orantılılığından kaynaklanan güzellik, denge, benzerlik, uyum, tutarlılık" olarak tanımlar.

Şekil 5 – Doğadaki simetri örnekleri

Simetri, doğa bilimlerinde önemli bir yer tutar ve dünya resminin sayısız basitleştirilmesine ve çeşitli alanları arasında benzerliklerin kurulmasına yol açar.

Simetri(fizikte) – Fiziksel niceliklerin belirli dönüşümler altında değişmeden (değişmez) kalma özelliği. Bu dönüşümlere denir simetri işlemleri .

Simetri işlemleri, örneğin aynada yansıma, kaydırma ve döndürme işlemlerini içerir. Kristaller, üç boyutta periyodik tekrarlanan parçacıkların düzenli düzenlenmesi ile karakterize edilen kayma simetrisine sahiptir. Düzenli geometrik şekiller eksenel simetriye sahiptir. Böylece bir kareyi, merkezinden geçen ve düzlemine dik olan bir eksene göre 90° döndürmek, kareyi kendisiyle aynı hizaya getirir.

Simetriler, temel parçacıkların özelliklerini tanımlayan uzay-zaman (dış) ve iç olarak ikiye ayrılır.

Uzay ve zaman homojendir, yani. kayma simetrisine sahiptir: Koordinat sisteminin paralel aktarımı ve zamanın kökenindeki bir kayma, doğa yasalarını değiştirmez. Uzayın izotropisi, eksenel simetriye sahip olduğu anlamına gelir: Koordinat eksenlerini rastgele bir açıyla döndürmek doğa yasalarını değiştirmez.

Modern fizikte belirli bir simetri hiyerarşisi keşfedilmiştir. Yukarıdaki simetriler herhangi bir etkileşim için ortaya çıkar. Yalnızca güçlü ve elektromanyetik etkileşimler sırasında karşılanan simetriler vardır; zayıf etkileşimler sırasında bu simetriler bozulur. Bu tür simetriler arasında örneğin ayna simetrisi, yük birleşimi işlemi, izotopik değişmezlik vb. yer alır; bu simetrilere iç denir. Ayna simetrisi (koordinatların değiştirilmesinden oluşan uzayın ters çevrilmesi) x,y,z Açık - x,-y,-z) aynadaki yansımanın fiziksel yasaları değiştirmediği anlamına gelir. Tüm parçacıkların antipartiküllerle değiştirilmesine yük konjugasyon işlemi denir; böyle bir simetri işlemi aynı zamanda doğada meydana gelen güçlü ve elektromanyetik etkileşimlerin süreçlerini de değiştirmez. İzotopik değişmezlik, proton ve nötronun benzerliği ile ilişkilidir (yalnızca proton üzerinde nükleer süreçleri etkilemeyen bir elektrik yükünün varlığında farklılık gösterirler).

1918'de Amalie Emmy Noether uzay-zamanda, temel parçacıkların serbestlik derecelerinde ve fiziksel alanlarda herhangi bir spesifik simetrinin varlığının ilgili koruma yasasına yol açtığını ve bu teoremden korunan miktarın spesifik yapısını takip eden temel teoremi kanıtladı. Zaman kaymasına göre değişmezlikten enerjinin korunumu yasası çıkar; Uzaysal kaymalara göre simetriden momentumun korunumu yasası çıkar; Uzaysal dönmeye göre değişmezlikten açısal momentumun korunumu yasası çıkar. Farklı eylemsiz referans sistemlerindeki koordinat ve zaman değerlerini (görelilik ilkesi) birbirine bağlayan Lorentz dönüşümleri altında fiziksel yasalar değişmez. Görelilik ilkesinden, yalıtılmış bir sistemin kütle merkezinin hareket hızının korunumu yasası çıkar.

İç simetrilerin varlığı aynı zamanda belirli korunum yasalarıyla da ilişkilidir. Ayna simetrisi, her parçacığa atanması gereken özel bir kuantum sayısının - paritenin korunmasına yol açar. Eşitliğin korunması, sağın solun ve sağın solun yerini alması açısından doğanın değişmezliği anlamına gelir; Daha önce de belirtildiği gibi, zayıf etkileşimlerde uzaysal eşitlik korunmaz. Eş zamanlı olarak uzayın ters çevrilmesi ve parçacıkların antiparçacıklarla değiştirilmesinden oluşan karmaşık dönüşüme birleşik ters çevirme denir. Bileşik paritenin korunumu yasası tüm etkileşimlerde sağlanır. İzotopik değişmezlik, güçlü etkileşimler sırasında izotopik dönüşün korunmasına yol açar (kural olarak zayıf etkileşimler, izotopik dönüşteki bir değişiklikle meydana gelir). Dalga fonksiyonunun özel bir simetrisini ifade eden elektrik, baryon ve lepton yüklerinin korunumu yasaları vardır. Modern kavramlara göre, temel parçacıkların tüm dönüşümleri sırasında elektrik yükünün daima korunması gerekir. Baryon ve lepton yükleri kesin olarak korunmayabilir, ancak bu yüklerin korunumu yasasının deneysel ihlalleri henüz keşfedilmemiştir. Koruma yasalarından birine uyulmaması, bu etkileşimde karşılık gelen simetri türünün ihlali anlamına gelir.

Koruma yasaları güçlü bir araştırma aracıdır. Hareket denklemlerinin kesin çözümünün çok karmaşık olduğu veya etki eden kuvvetlerin bilinmediği sıklıkla görülür. Korunum yasaları etki eden kuvvetlerin doğasına bağlı olmadığından, kuvvetlerin bilinmediği durumlarda bile mekanik sistemlerin davranışı hakkında bir takım önemli bilgiler elde etmek için kullanılabilirler. Korunum yasalarının yardımıyla bir dizi temel parçacık keşfedildi. Böylece, β-bozunumu sürecinde enerjinin korunumu ve açısal momentum yasalarının karşılanması için W. Pauli (1932), o zamanlar bilinmeyen bir parçacığın varlığını öne sürdü.

giriiş

Formun herhangi bir eşitliği

hareketin integrali denir. Kapalı bir sistem için N Her şeyin serbestlik derecesi, hareketin bağımsız integralleri vardır. Hareket denklemlerinde bağımlı olmayan yeni değişkenleri dikkate alırsak, hareket denklemlerinin tamamı şu şekilde yazılacaktır: , (1)

Üstelik kapalı bir sistem için zaman buraya ancak açıkça yazılmış diferansiyeller şeklinde girecektir. Bu nedenle bu denklemlerin dışında dt, alacağız

Zaman içermeyen denklemler. Bunları entegre etmek hareketin integrallerine yol açacaktır.

1. Hareket integrallerinin asimptotik toplamsallığı. Noether teoreminin formülasyonu.

Tüm hareket integralleri arasında, özel bir adı olan korunum yasaları olan, toplamsal veya asimptotik olarak toplamsal hareket integralleri özellikle önemlidir. Birbirinden çok uzakta bulunan iki sistemi düşünürsek, bir sistemdeki süreçlerin diğerinin hareketini hiçbir şekilde etkilememesi gerektiği fiziksel olarak açıktır. Öte yandan hiçbir şey bizi bu tür iki sistemi iki parça olarak düşünmekten alıkoyamadığından, BEN Ve II, tek bir genel sistem, o zaman aşağıdaki gibi asimptotik toplamsallık durumuna geliriz: ( ben+ II) farklı alt sistemlerin malzeme noktaları arasındaki minimum mesafe olacak şekilde iki alt sisteme bölünmüştür.

, daha sonra Lagrange fonksiyonu her iki alt sistemin Lagrange fonksiyonlarının toplamına ayrışır: . (2)

Korunum yasalarının, mekanik bir sistemin tanımının belirli bir zaman ve koordinat dönüşümleri grubuna göre değişmezliğiyle ilişkili derin bir kökeni vardır. Bazı varyasyonel ilkelerden Euler denklemleri olarak elde edilebilen bir diferansiyel denklem sistemi için, varyasyonel fonksiyonelin tek parametreli sürekli bir dönüşüm grubuna göre değişmezliğinin, tek bir korunumun varlığına işaret ettiğini belirten Noether teoremi vardır. kanun. Grup şunları içeriyorsa ben parametreler, o zaman fonksiyonelin değişmezliği varlığını ima edecektir. ben koruma yasaları.

Noether teoreminin gerektirdiği simetri dönüşümleri grubunun içerdiği simetri dönüşümleri grubunun varlığı, fiziksel sistemin doğasına bağlıdır. Göz önünde bulundurulan kapalı sistemler için eylem, yedi parametreli dönüşüm grubuna göre değişmez olmalıdır - bir zaman kaymasına bağlı olarak, üç uzaysal kayma parametresine bağlı olarak ve üç uzay rotasyonu parametresine bağlı olarak. Buna göre herhangi bir kapalı sistemin belirtilen dönüşümlere karşılık gelen 7 korunmuş büyüklüğü olması gerekir. Sistem diğer simetri dönüşümlerine de izin verecek şekilde ise, daha fazla korunan nicelikler olabilir.

2. Noether Teoreminin Kanıtı

Noether teoremini tam olarak formüle edip kanıtlayalım.

Lagrange fonksiyonu tarafından tanımlanan bazı sistemleri ele alalım.

. (3)

Böyle bir Lagrange fonksiyonu ile varyasyon ilkesinden elde edilen Lagrange-Euler denklemlerinin formu, formun dönüşümleri altında değişmezdir.

ve daha genel dönüşümlerle ilgili olarak (4)

bağımsız değişkenin değiştirilmesini içerir. Ancak eylemin yeni ifadesinin özel formu, yeni zamana bağlı yeni koordinatların bir fonksiyoneli olarak böyle bir değişiklikle her türlü değişikliğe uğrayabilir.

Noether'in teoremi yalnızca bu tür değişikliklerin meydana gelmediği durumla ilgilenir.

genelleştirilmiş koordinatlar ve zaman.

(4)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

(5)

Dönüşüme izin ver

öyle ki (6)

onlar. tek parametreli bir grup oluşturmak. Parametreye karşılık gelen sonsuz küçük bir dönüşümü ele alalım.

. (7)

Aslında, söz konusu dönüşüm sırasında meydana gelen genelleştirilmiş koordinatlardaki değişiklikler, değerler arasındaki farktır.

yeni zamanda bir noktada yeni koordinatlar ve eski zamanda karşılık gelen noktada eski koordinatların değerleri, yani. . (8)

Bunların yanı sıra, formun varyasyonlarını da dikkate almak uygundur.

(9)

Dönüşümümüz koordinatları değil yalnızca zamanı etkilese bile, koordinatların sıfırdan farklı zamana bağımlılığı.

Herhangi bir fonksiyon için aşağıdaki ilişki geçerlidir:

.

Daha sonra tanıtılan iki varyasyon türü arasında şu şekilde elde edilebilecek bir ilişki vardır: denklemi (9) (8)'den çıkarırsak, şunu elde ederiz:

,

bunu dikkate alalım

,

o zaman elimizde:

(10)

Aynı bağımsız değişken değeriyle ilgili yıldız işareti olmayan varyasyonlar, zaman içindeki farklılaşmayla değiştirilebilir

,

yıldız işaretli varyasyonlar için bu genel olarak doğru değildir.

Alexey Levin "Teorem" terimi bilime Helenistik dönemin geometrisinden geldi. Ağırlıklı olarak matematikle ilgileniyor. Ancak diğer bilimlerde, özellikle de fizikte teoremler vardır. Böylece 19. yüzyılda klasik istatistiksel mekanikte parçacıkların kinetik enerjisinin serbestlik derecelerine göre eşit dağılımı hakkında bir teorem formüle edildi ve ardından N-Boltzmann teoremi, buna göre dengesiz bir sistemin entropisi her zaman zamanla artar. 20. yüzyılda fiziksel teoremlerin sayısı önemli ölçüde arttı. Örnekler arasında elektromanyetik süreçlerde foton sayısının eşitliğinin korunduğunu belirten Farry teoremi; Spin ve istatistik arasındaki bağlantıya ilişkin Pauli teoremi; Kuantum alan teorisinde anahtar rol oynayan Wick teoremi.

Bu görkemli seride, Göttingen Üniversitesi'nin serbest çalışanı Emmy Noether'in, Büyük Savaş'ın zirvesinde, 1915-1916'nın başında kanıtladığı teoremin çok özel bir yeri var. Yazar bu konuda ilk kez 23 Temmuz 1918'de Göttingen Matematik Derneği'nin bir seminerinde bir rapor verdi, yani yüzüncü yıl çok yakında.

33 yaşındaki Emmy Noether, 1915 baharında büyük matematikçiler Felix Klein ve David Hilbert'in daveti üzerine Göttingen'e geldi. Birkaç ay sonra orada onun ilk büyük eserinin başlangıcı olacak olaylar meydana geldi. Yaz aylarında Albert Einstein, Göttingen'deki meslektaşlarına, genel görelilik teorisi olarak bilinen, zaten tamamlanmak üzere olan yerçekimi teorisinin temel fikirlerini tanıttı. Dinleyiciler arasında Einstein'ın fikirleriyle ilgilenen Hilbert de vardı. Kasım ayında Einstein, genel görelilik denklemlerinin son versiyonunu yazdı ve bunu hemen Prusya Bilimler Akademisi'ne sundu. Kısa bir süre sonra Hilbert aynı denklemleri yeni bir yöntemle elde etti ve bunu Mart 1916'nın sonunda yayınlanan bir makalede bildirdi.

Bu çalışma sırasında Hilbert, yeni yerçekimi teorisinin enerjinin korunumu yasasına şüphe düşürdüğünü fark etti. Genel görelilik denklemleri, aralarında düzgün dönüşümlerin mümkün olduğu rastgele uzay-zaman koordinat sistemleriyle yazılabilir. Onların yardımıyla, keyfi olarak seçilen herhangi bir noktada ve onun sonsuz küçük komşuluğunda yerçekimi alanının büyüklüğünü sıfırlayabilirsiniz. Fiziksel olarak bu, hayali bir gözlemcinin bu noktada yer çekimi kuvvetini kaydedemeyeceği anlamına gelir (bu, Einstein'ın eşdeğerlik ilkesidir). Buradan genel göreliliğe göre enerjinin kesin olarak lokalizasyonunun prensipte imkansız olduğu sonucu çıkar. Onun korunmasıyla ne yapılacağı sorusu Hilbert'i çok endişelendirdi ve Emmy Noether'den bu sorunu çözmesini istedi. 1910'da Emmy Noether (Wikipedia) Bu istek fazlasıyla yerine getirildi. Noether olağanüstü derecede güçlü sonuçlar elde etti; bunların kapsamının, Hilbert'in başlangıçta ortaya koyduğu problemin kapsamından çok daha geniş olduğu ortaya çıktı. Bugün bunun sadece genel görelilik ve klasik fiziğin diğer alan teorilerini değil aynı zamanda yirminci yüzyılın ikinci yarısında geliştirilen kuantize alan teorilerini de kapsadığını biliyoruz.

En genel haliyle Noether teoreminin özü kelimenin tam anlamıyla kısaca ifade edilebilir. Doğayı temel düzeyde inceleyen bilim adamları, herhangi bir dönüşüm sırasında değişmeden kalan fiziksel sistemlerin özelliklerini ararlar. Noether'in teoreminden, bu tür korunmuş özelliklerin varlığının, sistemin dinamiğini belirleyen temel fiziksel nicelik olan sözde eylemin simetrileriyle doğrudan ilişkili olduğu sonucu çıkar. Başka bir deyişle, korunum yasaları belirli eylem simetrilerinin varlığının doğrudan bir sonucudur. Bu sonuç, Newton mekaniğinden temel parçacıkların Standart Modeline kadar fiziğin çeşitli alanlarında bu tür yasaları tanımlamak için evrensel bir araç haline geldi. Ayrıca tüm bilim tarihinin en güzel teorik içgörülerinden biri olarak kabul edilebilir.

Hilbert, genel görelilik denklemlerini, gerçek fiziksel süreçlerde eylemin aşırı bir değer alması - kural olarak minimuma ulaşması - ilkesine dayanarak türetmiştir. O günlerde, bu prensibin hem klasik mekaniğin hem de Maxwell elektrodinamiğinin denklemlerini ve çok daha fazlasını elde etmeyi mümkün kıldığını zaten biliyorlardı. Bu nedenle çeşitli fiziksel sistemlerin dinamiklerini belirleyen denklemler oluşturmak için güçlü bir araç olarak kabul edildi. Emmy Noether de onunla çalıştı. Bir eylemin hesaplanmasında yer alan matematiksel nesneleri dönüştüren, ancak sayısal değerini değiştirmeden bırakan - veya daha genel olarak bu değeri çok fazla değiştirmeyen (tabii ki bunun için kesin bir matematiksel tanım vardır: "çok fazla değil") işlemlerle ilgileniyordu. ”). Bu, bu tür işlemlerin eylemi değişmez bıraktığı anlamına gelir.

Belirli bir dönüşüme veya tüm dönüşüm sınıfına göre değişmezliğe simetri denir. Emmy Noether, çalışmasında belirli simetrilerin bir eylemde varlığının ne gibi sonuçlara yol açtığı sorusunu sordu.

Bu sorunu çok genel bir biçimde çözdü, ancak yalnızca sürekli simetriler için: ayrık simetrileri dikkate almadı. Matematik zaten bu tür simetrileri Lie grupları biçiminde incelemek için etkili bir araca sahipti. Teorileri iyi gelişmişti ve Noether bunu iyi anladı.

Emmy Noether, iki tür Lie grubunun işlediği simetri dönüşümlerini inceledi. Bir durumda, her dönüşüm (yani Lie grubunun her elemanı) sonlu bir sayısal parametreler kümesiyle tanımlanır. İkinci tipteki Lie gruplarının elemanları ise tam tersine, bir veya daha fazla sayıda keyfi fonksiyona bağlıdır. Örneğin, düzlem dönüşleri bir parametreyle (dönme açısı) belirtilir ve üç boyutlu uzaydaki dönüşler üç parametreyle belirtilir (her biri üç koordinat ekseni etrafındaki dönüş dizisi olarak temsil edilebilir). Einstein'ın genel göreliliği, uzay-zamanın herhangi bir noktasında yerel bir referans çerçevesini keyfi olarak seçebilme yeteneğine dayanmaktadır. Bu aynı zamanda bir simetri türüdür ve kesinlikle Emmy Noether'in ikinci tip olarak sınıflandırdığı simetridir.

Noether teoremi iki bölümden oluşur. İlk olarak, birinci tip grup dönüşümlerine karşılık gelen simetriler altında eylemin değişmezliğinin sonuçlarını değerlendirdi. Böyle bir değişmezliğin, bu simetrileri karşılayan fiziksel nicelikler için korunum yasaları olarak yorumlanabilecek matematiksel ilişkileri yazmayı mümkün kıldığı ortaya çıktı. Basitçe söylemek gerekirse bu yasalar belirli simetrilerin doğrudan sonuçlarıdır.

İşte bazı örnekler. Newton mekaniğine ve Newton'un yerçekimi teorisine uyan izole edilmiş bir parçacık sisteminde, eylem zaman kaymaları altında değişmez. Noether teoreminden parçacıkların toplam enerjisinin zamana bağlı olmadığı, yani korunduğu sonucu çıkar. Aynı şekilde, uzaydaki keyfi kaymalara göre değişmezlik, toplam momentumun korunumu anlamına gelir; dönmelere göre değişmezlik ise açısal momentumun korunumu anlamına gelir.

Elbette bu yasalar daha önce biliniyordu ama doğaları gizemli kaldı; istersen gizemli. Noether'in teoremi bu gizemin üzerindeki perdeyi kesin olarak kaldırdı ve korunum yasalarını uzay ve zamanın simetrileriyle birleştirdi.

İşte kuantum elektrodinamiğinin ortaya çıkışından sonra gerçekleşen başka bir örnek. Şu ana kadar doğrudan fiziksel sistemle değil, onun zaman ve mekanla olan ilişkileriyle ilgili dış simetrilerden bahsediyorduk. Bununla birlikte, Noether teoremi aynı zamanda iç simetrileri, yani dinamikleri bir veya başka bir eylem tarafından belirlenen fiziksel alanların simetrilerini de hesaba katmamıza izin verir (resmi olarak bunlar, bu alanları temsil eden matematiksel yapıların simetrileridir). Bu aynı zamanda çeşitli korunum yasalarının keşfedilmesine de yol açar.

Kendimi bir örnekle sınırlayacağım. Dirac denkleminin türetilebileceği temelde serbest göreli bir elektronun eylemi, dalga fonksiyonu dönüştürüldüğünde değişmez; bu, birim modüllü karmaşık bir sayı ile çarpımına indirgenir. Fiziksel olarak bu, dalga fonksiyonunun fazında, uzay-zaman koordinatlarına bağlı olmayan sabit bir değerde değişiklik anlamına gelir (bu simetriye küresel denir). Geometrik olarak bu dönüşüm, keyfi fakat sabit bir açı boyunca düzlemsel dönüşe eşdeğerdir ve bu nedenle çok basit, tek parametreli bir Lie grubuyla tanımlanır. Noether teoreminden bu simetri nedeniyle elektrik yükünün korunduğu sonucu çıkar. Zayıf bir sonuç değil ve kesinlikle önemsiz değil!

Noether'in ikinci teoremi, eylemi değişmez bırakan simetri dönüşümlerinin sayısal parametrelere değil, bazı keyfi işlevlere bağlı olduğu durumları tanımlar. Genel durumda, bu tür bir değişmezlik, fiziksel olarak ölçülebilen büyüklüklerin korunumu yasalarını formüle etmeyi mümkün kılmaz. Özellikle, Noether'in ikinci teoreminden, genel görelilikte, uzay-zamanın fiziksel olarak gerçek (yani sonsuz küçük olmayan) bölgelerinde açık bir anlama sahip olacak, enerjinin, momentumun ve açısal momentumun korunumuna ilişkin evrensel yasaların olmadığı sonucu çıkar. Doğru, genel görelilik çerçevesinde enerjinin korunumu sorununun doğru bir şekilde gündeme getirilebileceği özel durumlar vardır. Ancak genel olarak bu sorunun çözümü, yerçekimi alanının enerjisinin tam olarak ne olarak kabul edildiğine ve onun korunmasından ne anlamda bahsettiğimize bağlıdır. Üstelik uzayda dinamik bir çekim alanıyla (yani değişen bir metrikle uzayda) hareket eden parçacıkların toplam enerjisi korunmaz. Böylece, genişleyen Evrenimizde, kozmik mikrodalga arka plan ışınımının fotonları sürekli olarak enerji kaybediyor; bu, kozmolojik kırmızıya kaymanın iyi bilinen bir olgusudur.

Noether'in ikinci teoreminin simetrileri temel fizikte sürekli olarak kullanılmaktadır. Parçacıkların özellikleri ile bu parçacıkların etkileşime girebileceği alanlar arasında yazışmalar kurmayı mümkün kılarlar. Yine - hiç de zayıf değil! Kaliforniya Üniversitesi'nde profesör olan ünlü Amerikalı teorik fizikçi Anthony Zee'nin, 2016 yılında yayınlanan "Fizikçiler İçin Özetle Grup Teorisi" monografisinde Emmy Noether'i muhtemelen şimdiye kadar yaşamış en derin kadın fizikçi olarak adlandırması tesadüf değildir. Bu kadar yüksek bir derecelendirme - ve sadece tek bir makale yüzünden!

Emmy Noether haklı olarak büyük bir matematikçi olarak kabul ediliyor - üstelik sadece teoremi nedeniyle değil. 1920'den beri soyut cebir ve cebirsel geometriyle ilgilendi ve burada birçok temel sonuç elde etti. 1933'te Yahudi olduğu için Göttingen'den kovuldu ve Amerika Birleşik Devletleri'ne taşındı ve burada Pensilvanya'daki Bryn Mawr Kadın Koleji'nde görev aldı. Ama yaşayacak fazla zamanı yoktu. 14 Nisan 1935'te Emmy Noether, büyük olasılıkla ciddi bir enfeksiyondan kaynaklanan ameliyat komplikasyonları nedeniyle öldü.

Emmy Noether'in biyografisini okumak kolaydır ve yeniden anlatılmamalıdır. Ancak çok az kişinin bildiği ilginç bir detay var. Noether, matematik bölümü dekanı Anna Pell Wheeler tarafından Bryn Mawr'a davet edildi. Bilimsel akıl hocası ve ilk kocası, Güney Dakota Üniversitesi'nde matematik profesörü olan ve o sırada çoktan ölmüş olan Alexander Pell'di. Ancak Pell her zaman Pell değildi. 1857'de Moskova'da doğdu ve o zamanki adı Sergei Petrovich Degaev'di. Vera Figner'i ve Narodnaya Volya'nın diğer üyelerini gizli polise teslim eden en büyük hain ve provokatör olarak Rus devrimci yeraltı tarihine geçti. Daha sonra eski yoldaşlarının elinde ölümden kaçınmak için küratörü jandarma yarbay Georgy Porfiryevich Sudeikin'in öldürülmesinde onlara yardım etti (bu hikaye Yuri Davydov'un “Yaprak Düşmesinin Ölü Zamanı” romanında ayrıntılı olarak anlatılmıştır) ). Serbest kalan Narodnaya Volya üyeleri, Degaev'in Amerika'ya gitmesine izin verdi ve Degaev, adını değiştirerek Pell'e dönüştü. Amerika'da matematik eğitimi aldı, ardından Baltimore'daki Johns Hopkins Üniversitesi'nde yüksek lisans eğitimini tamamladı ve sonunda çok saygın, muhafazakar bir beyefendi ve mükemmel bir öğretmen oldu. Emmy Noether'i Amerika Birleşik Devletleri'ne getirmek için, Narodnaya Volya'nın şeytani dehasının, derin eyaletlerden yetenekli bir öğrenciyi fark eden ve terfi ettiren saygın bir Amerikalı profesöre dönüşmesi gerektiği ortaya çıktı. Tarihin ironisi denilen şeyin mükemmel bir örneği.

Noether teoremini tam olarak formüle edip kanıtlayalım.

Lagrange fonksiyonu tarafından tanımlanan bazı sistemleri ele alalım.

Böyle bir Lagrange fonksiyonu ile varyasyon ilkesinden elde edilen Lagrange-Euler denklemlerinin formu, formun dönüşümleri altında ve daha genel dönüşümler altında değişmezdir.

bağımsız değişkenin değiştirilmesini içerir. Ancak eylemin yeni ifadesinin özel formu, yeni zamana bağlı yeni koordinatların bir fonksiyoneli olarak böyle bir değişiklikle her türlü değişikliğe uğrayabilir.

Noether'in teoremi yalnızca bu tür değişikliklerin meydana gelmediği durumla ilgilenir.

(4)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

Dönüşümler öyle olsun

onlar. tek parametreli bir grup oluşturmak. Parametreye karşılık gelen sonsuz küçük bir dönüşümü ele alalım.

Aslında, söz konusu dönüşüm sırasında ortaya çıkan genelleştirilmiş koordinatlardaki değişiklikler, yeni zamanın bir anındaki yeni koordinatların değerleri ile eski zamanın karşılık gelen anındaki eski koordinatların değerleri arasındaki farktır. yani

Bunların yanı sıra, formun varyasyonlarını da dikkate almak uygundur.

Dönüşümümüz koordinatları değil yalnızca zamanı etkilese bile, koordinatların sıfırdan farklı zamana bağımlılığı.

Herhangi bir fonksiyon için aşağıdaki ilişki geçerlidir:

Daha sonra tanıtılan iki varyasyon türü arasında şu şekilde elde edilebilecek bir ilişki vardır: denklemi (9) (8)'den çıkarırsak, şunu elde ederiz:

bunu dikkate alalım

o zaman elimizde:

Aynı bağımsız değişken değeriyle ilgili yıldız işareti olmayan varyasyonlar, zaman içindeki farklılaşmayla değiştirilebilir

yıldız işaretli varyasyonlar için bu genel olarak doğru değildir.

Herhangi bir dinamik değişken için karşılık gelen iki tür varyasyon tanıtılabilir. Örneğin Lagrange fonksiyonu için

burada hem açıkça dahil edilen zamana göre hem de koordinatlar ve hızlar aracılığıyla örtülü olarak dahil edilen zamana göre farklılaşmayı içerir.

Şimdi eylemin integralinin dönüşümümüz altında değişmemesini istiyoruz - bu, teoremin koşullarının gerektirdiği istisnai durumdur - yani. bu ... idi

Nerede T"- ile aynı entegrasyon alanı T ikinci integralde, ancak yeni değişkenler cinsinden ifade edilir. Daha sonra (11)'i (13)'ün yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

(15)'ten (11)'e kadar ifade ediyoruz ve ilişkiyi dikkate alarak entegrasyona geçiyoruz. T yerine T", şunu elde ederiz:

Hesaba katıldığında

Şunu elde ederiz: (15)

Diferansiyelini bulalım

(17)'yi (16) yerine koyarsak şunu elde ederiz:

İlk toplamın işaretinin altında Lagrange denklemi bulunur, yani.