Logaritma - özellikler, formüller, grafik. Logaritma nedir? logaritma çözümü
Logaritmanın temel özellikleri, logaritmanın grafiği, tanım alanı, değerler kümesi, temel formüller, artırma ve eksiltme verilir. Logaritmanın türevinin bulunması ele alınır. İntegralin yanı sıra, karmaşık sayılarla kuvvet serileri açılımı ve gösterimi.
İçerikEtki alanı, değer kümesi, artan, azalan
Logaritma monoton bir fonksiyondur, bu nedenle ekstremumları yoktur. Logaritmanın temel özellikleri tabloda gösterilmiştir.
| İhtisas | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Değer aralığı | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monoton | monoton olarak artar | monoton olarak azalır |
| sıfırlar, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0 | HAYIR | HAYIR |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
özel değerler
10 tabanlı logaritma denir ondalık logaritma ve şu şekilde işaretlenir:
taban logaritması e isminde doğal logaritma:
Temel logaritma formülleri
Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki logaritmanın özellikleri:
Logaritmaların ana özelliği ve sonuçları
Baz değiştirme formülü
Logaritma, logaritma almanın matematiksel işlemidir. Bir logaritma alınırken, faktörlerin çarpımı terimlerin toplamına dönüştürülür.
Güçlendirme, logaritmanın tersi olan matematiksel işlemdir. Güçlendirme sırasında, verilen taban, güçlendirmenin gerçekleştirildiği ifadenin gücüne yükseltilir. Bu durumda, terimlerin toplamları faktörlerin çarpımına dönüştürülür.
Logaritmalar için temel formüllerin kanıtı
Logaritmalarla ilgili formüller, üstel fonksiyonlar için formüllerden ve bir ters fonksiyonun tanımından çıkar.
Üstel fonksiyonun özelliğini düşünün
.
Daha sonra
.
Üstel işlevin özelliğini uygulayın
:
.
Taban değiştirme formülünü kanıtlayalım.
;
.
c = b ayarını elde ederiz:
Ters fonksiyon
a logaritma tabanının tersi, üssü a olan üstel fonksiyondur.
eğer , o zaman
eğer , o zaman
logaritmanın türevi
Logaritma modulo x'in türevi :
.
n'inci mertebenin türevi:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
Bir logaritmanın türevini bulmak için tabana indirgenmesi gerekir. e.
;
.
ayrılmaz
Logaritmanın integrali şu kısımlara göre integral alınarak hesaplanır: .
Bu yüzden,
Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler
Karmaşık sayı işlevini düşünün z:
.
Karmaşık bir sayıyı ifade edelim z modül aracılığıyla R ve argüman φ
:
.
Ardından, logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
Ancak, argüman φ
açıkça tanımlanmamış. eğer koyarsak
n bir tamsayıdır,
o zaman farklı için aynı sayı olacak N.
Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.
Güç serisi genişletme
için, genişletme gerçekleşir:
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Eğitim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
ÜSEL VE LOGAritmik FONKSİYONLAR VIII
§ 184. Derece ve kökün logaritması
teorem 1. Pozitif bir sayının gücünün logaritması, bu gücün üssünün tabanının logaritmasıyla çarpımına eşittir.
Başka bir deyişle, eğer A Ve X pozitif ve A =/= 1, daha sonra herhangi bir gerçek sayı için k
kayıt bir x k = k kayıt bir x . (1)
Bu formülü kanıtlamak için şunu göstermek yeterlidir.
= A k kayıt bir x . (2)
= X k
A k kayıt bir x = (A kayıt bir x ) k = X k .
Bu, formül (2)'nin ve dolayısıyla (1)'in geçerliliğini ima eder.
Numaranın k doğaldır ( k = n ), o zaman formül (1) formülün özel bir halidir
kayıt A (X 1 X 2 X 3 ... X N ) = günlük bir x 1 + günlük bir x 2 + günlük bir x 3 + ...günlük bir x N .
önceki bölümde kanıtlanmıştır. Gerçekten de, bu formülde varsayarsak
X 1 = X 2 = ... = X N = X ,
alırız:
kayıt bir x N = N kayıt bir x .
1) günlük 3 25 = günlük 3 5 2 = 2 günlük 3 5;
2) günlük 3 2 √ 3 = √3 günlük 3 2.
Negatif değerler için X formül (1) anlamını yitirir. Örneğin log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) yazamazsınız çünkü log 2 (-4) ifadesi tanımsızdır. Bu formülün sol tarafındaki ifadenin mantıklı olduğuna dikkat edin:
günlük 2 (-4) 2 = günlük 2 16 = 4.
Genel olarak, eğer sayı X negatif, ardından ifade günlüğü bir x 2k = 2k kayıt bir x belirlendi çünkü X 2k > 0. İfade 2'dir k kayıt bir x bu durumda mantıklı değil. öyleyse yaz
Kayıt bir x 2k = 2k kayıt bir x
yasaktır. Ancak yazılabilir
kayıt bir x 2k = 2k kayıt bir | X | (3)
Bunu hesaba katarsak, bu formül (1) 'den kolayca elde edilir.
X 2k = | X | 2k
Örneğin,
günlük 3 (-3) 4 = 4 günlük 3 | -3 | = 4 günlük 3 3 = 4.
Teorem 2. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, kök ifadesinin logaritmasının kökün üssüne bölünmesine eşittir.
Başka bir deyişle, eğer sayılar A Ve X olumlu A =/= 1 ve P bir doğal sayıdır, o halde
kayıt A N √X = 1 / N kayıt bir x
Gerçekten mi, N √X = . Bu nedenle, Teorem 1 ile
kayıt A N √X = günlük A = 1 / N kayıt bir x .
1) günlük 3 √ 8 = 1 / 2 günlük 3 8; 2) günlük 2 5 √27 = 1/5 günlük 2 27.
Egzersizler
1408. Bir sayının logaritması, tabanı değiştirmeden:
a) sayının karesini almak
b) sayıdan çıkar Kare kök?
1409. Fark günlüğü 2 nasıl değişecek A - günlük 2 B eğer sayılar A Ve B buna göre değiştirin:
A) A 3 ve B 3; b) 3 A ve 3 B ?
1410. log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771 olduğunu bilerek, 10 sayının tabanına göre logaritmaları bulun:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Bir geometrik dizinin ardışık üyelerinin logaritmalarının bir aritmetik dizi oluşturduğunu kanıtlayın.
1412. Fonksiyonlar birbirinden farklı mı?
de = günlük 3 X 2 ve de = 2 günlük 3 X
Bu fonksiyonların grafiklerini oluşturun.
1413. Aşağıdaki dönüşümlerde bir hata bulun:
günlük 2 1 / 3 = günlük 2 1 / 3
2log 2 1/3 > log 2 1/3 ;
günlük 2 (1 / 3) 2 > günlük 2 1 / 3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
b (b > 0)'ın a tabanına (a > 0, a ≠ 1) göre logaritması b'yi elde etmek için a sayısını artırmanız gereken üs.
b'nin 10 tabanlı logaritması şu şekilde yazılabilir: günlük(b) ve e tabanına göre logaritma (doğal logaritma) - ln(b).
Genellikle logaritmalarla ilgili problemleri çözerken kullanılır:
Logaritmaların özellikleri
Dört ana var logaritmaların özellikleri.
a > 0, a ≠ 1, x > 0 ve y > 0 olsun.
Özellik 1. Çarpımın logaritması
Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Özellik 2. Bölümün logaritması
bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir:
log a (x / y) = log a x – log a y
Özellik 3. Derecenin logaritması
Derece logaritması derece ve logaritmanın ürününe eşittir:
Logaritmanın tabanı üsse ise, başka bir formül uygulanır:
Özellik 4. Kökün logaritması
Bu özellik, derecenin logaritmasının özelliğinden elde edilebilir, çünkü n'inci derecenin kökü 1/n'nin gücüne eşittir:
Bir tabandaki logaritmadan başka bir tabandaki logaritmaya gitme formülü
Bu formül, logaritmalar için çeşitli görevleri çözerken de sıklıkla kullanılır:
Özel durum:
Logaritmaların karşılaştırılması (eşitsizlikler)
Aynı tabanlı logaritmalar altında f(x) ve g(x) olmak üzere 2 fonksiyonumuz olduğunu ve aralarında bir eşitsizlik işareti olduğunu varsayalım:
Bunları karşılaştırmak için önce a logaritmalarının tabanına bakmanız gerekir:
- a > 0 ise f(x) > g(x) > 0
- 0 ise< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Logaritmalarla ilgili problemler nasıl çözülür: örnekler
Logaritma içeren görevler Görev 5 ve görev 7'de 11. sınıf için Matematikte KULLANIM'a dahil edilen görevleri, web sitemizde uygun bölümlerde bulabilirsiniz. Ayrıca logaritmalı görevler, matematikteki görevler bankasında bulunur. Sitede arama yaparak tüm örnekleri bulabilirsiniz.
logaritma nedir
Logaritmalar okul matematik dersinde her zaman zor bir konu olarak görülmüştür. Logaritmanın pek çok farklı tanımı vardır, ancak nedense çoğu ders kitabı bunların en karmaşık ve talihsiz olanını kullanır.
Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunun için bir tablo oluşturalım:
Yani, ikinin kuvvetlerine sahibiz.
Logaritmalar - özellikler, formüller, nasıl çözülür
Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye yükseltmeniz gereken kuvveti kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için, ikinin altıncı kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.
Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:
x argümanının a tabanı, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken kuvvettir.
Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşittir.
Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in 2 tabanlı logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). 2 6 = 64 olduğundan, log 2 64 = 6 da olabilir.
Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| günlük 2 2 = 1 | günlük 2 4 = 2 | günlük 2 8 = 3 | günlük 2 16 = 4 | günlük 2 32 = 5 | günlük 2 64 = 6 |
Ne yazık ki, tüm logaritmalar o kadar kolay kabul edilmiyor. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. 5 sayısı tabloda yoktur, ancak mantık, logaritmanın doğru parçasının herhangi bir yerinde olacağını belirtir. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, şu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logaritmanın iki değişkenli (taban ve bağımsız değişken) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir bakın:
Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste söylüyorum - ve kafa karışıklığı yok.
logaritmalar nasıl sayılır
Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır, yani. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:
- Bağımsız değişken ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından çıkar.
- Taban birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir kuvvete karşı bir birim hala bir birimdir. Bu nedenle, "iki elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir" sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalar denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = -1, çünkü 0,5 = 2 −1 .
Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde, DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Aslında, temel ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka karşılık gelmeyen çok güçlü yapılar olabilir.
Şimdi düşünün genel şema logaritma hesaplamaları. Üç adımdan oluşur:
- a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
- b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
- Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.
Bu kadar! Logaritma irrasyonel çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Benzer ondalık sayılar: onları hemen sıradan olanlara çevirirseniz, birçok kez daha az hata olacaktır.
Bu şemanın belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 5 25
- Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Bir cevap aldı: 2.
Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Görev. Logaritmayı hesaplayın:
Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 4 64
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Bir cevap aldı: 3.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Bir yanıt alındı: 0.
Görev. Logaritmayı hesapla: log 7 14
- Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14, yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
- Önceki paragraftan, logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
- Cevap değişiklik yok: günlük 7 14.
Son örnek üzerine küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece onu asal çarpanlara ayırın. Genişletmede en az iki farklı faktör varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.
Görev. Sayının tam kuvvetlerinin şunlar olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir kuvvet değildir çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine kesin bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;
Ayrıca, asal sayıların kendilerinin her zaman kendilerinin tam kuvvetleri olduğuna dikkat edin.
ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki, özel bir adları ve atamaları vardır.
x bağımsız değişkeninin 10 tabanlı logaritmasıdır, yani x'i elde etmek için 10'un yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: lgx.
Örneğin, günlük 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Bundan sonra ders kitabında “lg 0.01 Bul” gibi bir ibare göründüğünde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, onu her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.
doğal logaritma
Kendi notasyonu olan başka bir logaritma var. Bir anlamda ondalıktan bile daha önemlidir. Bu doğal logaritmadır.
x bağımsız değişkeninin e tabanına göre logaritmasıdır, yani x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: lnx.
Birçoğu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır, tam değeri bulunamaz ve yazılamaz. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2,718281828459…
Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x
Böylece ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için, adi logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.
Ayrıca bakınız:
logaritma. Logaritmanın özellikleri (logaritmanın gücü).
Bir sayıyı logaritma olarak nasıl temsil edebilirim?
Bir logaritmanın tanımını kullanıyoruz.
Logaritma, logaritmanın işareti altındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir.
Bu nedenle, belirli bir c sayısını a tabanına logaritma olarak temsil etmek için, logaritmanın işaretinin altına logaritmanın tabanı ile aynı tabana sahip bir derece koymanız ve bu sayıyı c'yi üsse yazmanız gerekir:
Bir logaritma biçiminde, kesinlikle herhangi bir sayıyı temsil edebilirsiniz - pozitif, negatif, tamsayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel:
Bir sınav veya sınavın stresli koşullarında a ve c'yi karıştırmamak için aşağıdaki kuralı hatırlamak için kullanabilirsiniz:
aşağıda olan aşağı iner, yukarıda olan yukarı çıkar.
Örneğin, 2 sayısını 3 tabanına göre bir logaritma olarak göstermek istiyorsunuz.
İki sayımız var - 2 ve 3. Bu sayılar, logaritma işareti altına yazacağımız taban ve üs. Geriye, bu sayılardan hangisinin derece bazında ve hangisinin üs olarak yazılacağını belirlemek kalır.
Logaritma kaydındaki 3 tabanı en altta yani ikiliyi 3'ün tabanına logaritma olarak gösterdiğimizde tabana da 3 yazacağız.
2, 3'ten yüksektir. Ve derece notasyonunda, üçün üstüne iki, yani üste yazıyoruz:
Logaritmalar. İlk seviye.
logaritmalar
logaritma pozitif sayı B Sebeple A, Nerede bir > 0, bir ≠ 1, sayının yükseltilmesi gereken üsdür. A, Elde etmek üzere B.
logaritmanın tanımı kısaca şöyle yazılabilir:
Bu eşitlik için geçerlidir. b > 0, a > 0, a ≠ 1. O genellikle denir logaritmik özdeşlik.
Bir sayının logaritmasını bulma işlemine denir. logaritma.
Logaritmaların özellikleri:
Çarpımın logaritması:
Bölümden bölümün logaritması:
Logaritmanın tabanını değiştirmek:
Derece logaritması:
kök logaritması:
Kuvvet tabanlı logaritma:
Ondalık ve doğal logaritmalar.
ondalık logaritma sayılar o sayının 10 tabanındaki logaritmasını çağırır ve lg yazar B
doğal logaritma sayılar bu sayının logaritmasını tabana çağırır e, Nerede e irrasyonel bir sayıdır, yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir. Aynı zamanda, ln yazıyorlar B.
Cebir ve Geometri Üzerine Diğer Notlar
Logaritmaların temel özellikleri
Logaritmaların temel özellikleri
Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.
Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması
Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: log a x ve log a y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!
Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:
günlük 6 4 + günlük 6 9.
Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
günlük 6 4 + günlük 6 9 = günlük 6 (4 9) = günlük 6 36 = 2.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 - log 2 3.
Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 - log 3 5.
Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
günlük 3 135 - günlük 3 5 = günlük 3 (135: 5) = günlük 3 27 = 3.
Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak birçok test kağıtları. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.
Üssü logaritmadan çıkarma
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:
Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.
Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.
logaritma nasıl çözülür
En sık ihtiyaç duyulan şey budur.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .
İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12
Görev. İfadenin değerini bulun:
Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:
Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.
Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.
Yeni bir temele geçiş
Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?
Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:
Logaritma log a x verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:
Özellikle c = x koyarsak şunu elde ederiz:
İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.
Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.
Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.
Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2log 2 5;
Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:
Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.
Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:
Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:
Temel logaritmik kimlik
Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir.
Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:
İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkendeki üs haline gelir. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.
İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Bunun gibi denir:
Gerçekten de b sayısı, bu derecede b sayısı a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı a sayısıdır. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".
Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen tek olası çözümdür.
Görev. İfadenin değerini bulun:
Log 25 64 = log 5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:
Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂
Logaritmik birim ve logaritmik sıfır
Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.
- log a a = 1'dir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: o tabandan herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
- günlük bir 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.
Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.
Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri her zaman toplanır (a b * a c = a b + c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturdu. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika ayırırsanız, size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir dil.
matematikte tanım
Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) logaritması "a" tabanına göre "b", "c'nin kuvveti olarak kabul edilir ", sonunda "b" değerini elde etmek için "a" tabanını yükseltmek gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, log 2 8 ifadesi var diyelim. Cevabı nasıl bulacağız? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli dereceye kadar 8 elde ediyorsunuz. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve haklı olarak, çünkü 2 üzeri 3, cevapta 8 sayısını verir.
logaritma çeşitleri
Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, asıl mesele genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamak. Üç vardır belirli türler logaritmik ifadeler:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2.7).
- Ondalık a, tabanı 10'dur.
- Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve müteakip bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Doğru logaritma değerlerini elde etmek için, kararlarındaki özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamak gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte, aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve doğru olan birkaç kural-sınırlama vardır. Örneğin, sayıları sıfıra bölmek imkansız olduğu gibi, negatif sayılardan çift derecenin kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların ayrıca uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışılacağını kolayca öğrenebileceğiniz kendi kuralları vardır:
- "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
- a > 0 ise, a b > 0 ise, "c"nin sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.
Logaritmalar nasıl çözülür?
Örneğin, 10 x \u003d 100 denkleminin cevabını bulmak için görev verildi. Çok kolay, böyle bir güç seçmeniz gerekiyor, on sayısını 100'e yükseltiyoruz. Bu, elbette, 10'dur. 2 \u003d 100.
Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritma çözerken, tüm eylemler pratik olarak belirli bir sayıyı elde etmek için logaritma tabanının girilmesi gereken dereceyi bulmaya yakınsar.
Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmelisiniz. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak, daha büyük değerler bir güç tablosu gerektirecektir. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Hücrelerdeki kesişme noktasında cevap olan sayıların (a c=b) değerleri belirlenir. Örneğin 10 numaralı ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesiştiği noktada gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolay ki en gerçek hümanist bile anlayacak!
denklemler ve eşitsizlikler
Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 3 4 =81, 81'in dört olan 3 tabanına göre logaritması olarak yazılabilir (log 3 81 = 4). Negatif güçler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarız, log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri de "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra, denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayırt edeceğimize bakalım.
Aşağıdaki formun bir ifadesi verilir: log 2 (x-1) > 3 - bu, logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen "x" değeri logaritmanın işareti altındadır. Ve ayrıca ifadede iki miktar karşılaştırılır: iki tabanında istenen sayının logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ile eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritma içeren denklemlerin (örneğin, 2 x = √9'un logaritması) cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değeri ima ederken, eşitsizliği çözerken hem aralığın hem de kabul edilebilir değerler ve bu işlevi bozan noktalar. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayılar kümesidir.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulma konusundaki ilkel görevleri çözerken, özellikleri bilinmeyebilir. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda, öncelikle logaritmaların tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örnekleriyle tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak inceleyelim.
- Temel kimlik şuna benzer: a logaB =B. Yalnızca a 0'dan büyükse, birden eşit değilse ve B sıfırdan büyükse geçerlidir.
- Çarpımın logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda ön koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünün ispatını örneklerle ve çözümlü olarak verebilirsiniz. log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2 olsun. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (derece özellikleri) ) ve ayrıca tanım gereği: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, ki bu kanıtlanacaktı.
- Bölümün logaritması şöyle görünür: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
- Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.
Bu formüle "logaritma derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerini andırıyor ve bu şaşırtıcı değil, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanıyor. Kanıta bakalım.
a b \u003d t günlüğüne izin verin, a t \u003d b çıkıyor. Her iki parçayı da m kuvvetine yükseltirseniz: a tn = b n ;
ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlanmıştır.
Problem ve eşitsizlik örnekleri
En yaygın logaritma problemi türleri, denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca matematik sınavlarının zorunlu bölümünde yer alırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi bilmeniz gerekir.
Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilmesinin veya genel bir forma indirgenmesinin mümkün olup olmadığını öğrenmelisiniz. Özelliklerini doğru kullanırsanız, uzun logaritmik ifadeleri basitleştirebilirsiniz. Bir an önce onları tanıyalım.
Logaritmik denklemleri çözerken, önümüzde ne tür bir logaritma olduğunu belirlemek gerekir: bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık bir sayı içerebilir.
İşte örnekler ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı dereceyi belirlemeniz gerektiği gerçeğine indirgenir. Doğal logaritmaların çözümleri için, logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri uygulanmalıdır. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.
Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle
Öyleyse, ana teoremleri logaritmalarda kullanma örneklerine bakalım.
- Çarpımın logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayıları daha basit çarpanlara bölünür. Örneğin log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - görebileceğiniz gibi, logaritma derecesinin dördüncü özelliğini kullanarak karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi ilk bakışta çözmeyi başardık. Sadece tabanı çarpanlara ayırmak ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmak gerekir.
Sınavdaki görevler
Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem bulunur. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde (sınavın en kolay test bölümü) değil, aynı zamanda C bölümünde de (en zor ve hacimli görevler) bulunur. Sınav, "Doğal logaritmalar" konusunda doğru ve mükemmel bir bilgi anlamına gelir.
Örnekler ve problem çözümleri resmi kaynaklardan alınmıştır. KULLANIM seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.
Verilen log 2 (2x-1) = 4. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmanın tanımından şunu elde ederiz 2x-1 = 2 4 , dolayısıyla 2x = 17; x = 8.5
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmalar en iyi şekilde aynı tabana indirgenir.
- Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle ifadenin logaritmanın işareti altındaki üssünün üssünü ve tabanını çıkarırken, logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.
tanımından türetilmiştir. Ve böylece sayının logaritması B Sebeple A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).
Bu formülasyondan, hesaplamanın x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir balta=bÖrneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu, eğer b=bir c, ardından sayının logaritması B Sebeple A eşittir İle. Logaritma konusunun bir sayının kuvveti konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.
Logaritmalarla, herhangi bir sayıda olduğu gibi, gerçekleştirebilirsiniz toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmaların pek sıradan sayılar olmadığı gerçeği göz önüne alındığında, burada logaritma adı verilen kendi özel kuralları geçerlidir. Temel özellikler.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.
Aynı tabana sahip iki logaritmayı alın: günlük x Ve günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
oturum aç(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = günlük x 1 + günlük x 2 + günlük x 3 + ... + xk günlüğü.
İtibaren bölüm logaritma teoremleri logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Bilindiği üzere günlük A 1= 0, bu nedenle,
kayıt A 1 /B= günlük A 1 - günlük bir b= -log bir b.
Yani bir eşitlik var:
günlük a 1 / b = - günlük a b.
Karşılıklı karşılıklı iki sayının logaritmaları aynı temelde birbirinden sadece işaret olarak farklılık gösterecektir. Bu yüzden:
Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; günlük 5 1 / 125 = - günlük 5 125.
