Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi. Düzlem denklemleri: genel, üç noktadan, normal Düzlem denklemlerini yazın

Uzayda bir Q düzlemi düşünün. Konumu tamamen bu düzleme dik bir N vektörü ve Q düzleminde uzanan sabit bir nokta belirtilerek belirlenir. Q düzlemine dik olan N vektörüne bu düzlemin normal vektörü denir. N normal vektörünün izdüşümlerini A, B ve C ile gösterirsek, o zaman

Verilen noktadan geçen ve verilen normal vektöre sahip Q düzleminin denklemini türetelim. Bunu yapmak için, bir noktayı Q düzleminin rastgele bir noktasına bağlayan bir vektör düşünün (Şekil 81).

M noktasının Q düzlemi üzerindeki herhangi bir konumu için, MXM vektörü Q düzleminin normal N vektörüne diktir. Bu nedenle skaler çarpımı izdüşüm cinsinden skaler çarpımı yazalım. , ve vektör olduğundan, o zaman

ve dolayısıyla

Q düzleminin herhangi bir noktasının koordinatlarının denklem (4)'ü sağladığını gösterdik. Q düzleminde uzanmayan noktaların koordinatlarının bu denklemi sağlamadığını görmek kolaydır (son durumda, ). Böylece Q düzleminin gerekli denklemini elde etmiş oluyoruz. Denklem (4) verilen noktadan geçen düzlemin denklemi olarak adlandırılır. Mevcut koordinatlara göre birinci derecedendir.

Böylece, herhangi bir düzlemin mevcut koordinatlara göre birinci dereceden bir denkleme karşılık geldiğini göstermiş olduk.

Örnek 1. Vektöre dik bir noktadan geçen düzlemin denklemini yazın.

Çözüm. Burada . Formül (4) temelinde, elde ederiz

veya sadeleştirmeden sonra,

Denklemin (4) A, B ve C katsayılarına farklı değerler vererek, noktadan geçen herhangi bir düzlemin denklemini elde edebiliriz. Belirli bir noktadan geçen düzlemler kümesine düzlem demeti denir. A, B ve C katsayılarının herhangi bir değer alabildiği Denklem (4), bir düzlem demetinin denklemi olarak adlandırılır.

Örnek 2. Üç noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın (Şekil 82).

Çözüm. Bir noktadan geçen bir grup düzlemin denklemini yazalım.

DÜZLEMLER ARASINDAKİ AÇI

Denklemlerle sırasıyla verilen iki α 1 ve α 2 düzlemini ele alalım:

Altında açı iki düzlem arasında, bu düzlemler tarafından oluşturulan dihedral açılardan birini kastediyoruz. Normal vektörler ile aı ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu veya . Bu yüzden . Çünkü Ve , O

.

Örnek. Düzlemler arasındaki açıyı belirleyin X+2y-3z+4=0 ve 2 X+3y+z+8=0.

İki düzlemin paralel olma durumu.

İki α 1 ve α 2 düzlemi ancak ve ancak normal vektörleri ve paralel ise paraleldir ve dolayısıyla .

Dolayısıyla, iki düzlem ancak ve ancak karşılık gelen koordinatlardaki katsayılar orantılıysa birbirine paraleldir:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin ancak ve ancak normal vektörleri dik ise ve dolayısıyla veya ise dik olduğu açıktır.

Böylece, .

Örnekler.

UZAYDA DOĞRUDAN.

DOĞRUDAN VEKTÖR DENKLEM.

DOĞRUDAN PARAMETRİK DENKLEMLER

Düz bir çizginin uzaydaki konumu, sabit noktalarından herhangi biri belirlenerek tamamen belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Doğruya paralel olan vektöre denir rehberlik bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz bırak ben bir noktadan geçer M 1 (X 1 , y 1 , z 1) vektöre paralel düz bir çizgi üzerinde uzanmak.

Keyfi bir nokta düşünün M(x,y,z) düz bir çizgi üzerinde. Şekilden görülebileceği gibi .

ve vektörleri doğrusaldır, dolayısıyla böyle bir sayı vardır T, ne , çarpan nerede T noktanın konumuna bağlı olarak herhangi bir sayısal değer alabilir M düz bir çizgi üzerinde. faktör T parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini gösterme M 1 ve M sırasıyla, aracılığıyla ve elde ederiz. Bu denklem denir vektör düz çizgi denklemi. Her parametre değerinin T bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M düz bir çizgi üzerinde uzanmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazıyoruz. Dikkat edin, ve buradan

Ortaya çıkan denklemler denir parametrik düz çizgi denklemleri.

Parametreyi değiştirirken T koordinat değişikliği X, y Ve z ve nokta M düz bir çizgide hareket eder.

DOĞRUDAN KANONİK DENKLEMLER

İzin vermek M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, Ve yön vektörüdür. Yine, düz bir çizgi üzerinde rastgele bir nokta alın M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Açıktır ki ve vektörleri eşdoğrusaldır, bu nedenle ilgili koordinatları orantılı olmalıdır, dolayısıyla

– kanonik düz çizgi denklemleri.

1. açıklama Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametrenin ortadan kaldırılmasıyla parametrik denklemlerden elde edilebileceğini unutmayın. T. Nitekim elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Örnek. Düz bir çizginin denklemini yazın parametrik olarak.

belirtmek , buradan X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

2. açıklamaÇizginin koordinat eksenlerinden birine dik olmasına izin verin, örneğin eksen Öküz. O halde doğrunun yön vektörü diktir Öküz, buradan, M= 0. Sonuç olarak, düz çizginin parametrik denklemleri şu şekli alır:

Parametrenin denklemlerden çıkarılması Tşeklinde düz çizginin denklemlerini elde ederiz.

Bununla birlikte, bu durumda da, düz çizginin kanonik denklemlerini formda resmi olarak yazmayı kabul ediyoruz. . Bu nedenle, kesirlerden birinin paydası sıfır ise, bu, çizginin karşılık gelen koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, kanonik denklemler eksenlere dik düz bir çizgiye karşılık gelir Öküz Ve Oy veya paralel eksen Öz.

Örnekler.

GENEL DENKLEMLER İKİ DÜZLEMİ KESME HATTI OLARAK DOĞRU BİR HAT

Uzaydaki her düz çizgiden sonsuz sayıda düzlem geçer. Kesişen herhangi ikisi, onu uzayda tanımlar. Bu nedenle, birlikte ele alınan herhangi iki düzlemin denklemleri, bu çizginin denklemleridir.

Genel olarak, genel denklemler tarafından verilen herhangi iki paralel olmayan düzlem

kesişim çizgisini belirleyiniz. Bu denklemler denir genel denklemler dümdüz.

Örnekler.

Denklemlerle verilen düz bir çizgi oluşturun

Bir doğru çizmek için noktalarından herhangi ikisini bulmak yeterlidir. En kolay yol, çizginin koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin, düzlemle kesişme noktası xOy varsayarak, düz bir çizginin denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözerek, noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarak y= 0, çizginin düzlemle kesişme noktasını elde ederiz xOz:

Düz bir çizginin genel denklemlerinden kanonik veya parametrik denklemlerine geçilebilir. Bunu yapmak için bir nokta bulmalısın M 1 çizgi ve çizginin yön vektörü.

nokta koordinatları M 1 koordinatlarından birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için, bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğine dikkat edin. Ve . Bu nedenle, düz çizginin yön vektörü için ben normal vektörlerin çapraz çarpımını alabilirsiniz:

.

Örnek. Düz çizginin genel denklemlerini verin kanonik forma.

Düz bir çizgi üzerinde bir nokta bulun. Bunu yapmak için keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, y= 0 ve denklem sistemini çözün:

Çizgiyi tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır. Bu nedenle, yön vektörü düz olacaktır

. Buradan, ben: .

SAĞLAR ARASINDAKİ AÇI

köşe uzayda düz çizgiler arasında, verilere paralel keyfi bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birini adlandıracağız.

Uzayda iki düz çizgi verilsin:

Açıkçası, çizgiler arasındaki φ açısı, yön vektörleri ile arasındaki açı olarak alınabilir. , o zaman vektörler arasındaki açının kosinüs formülüne göre elde ederiz

Bu yazıda, üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denkleminin belirli bir doğruya dik olduğundan bahsedeceğiz. İlk olarak, belirli bir doğruya dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma ilkesini inceleyeceğiz, ardından tipik örnek ve problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Sayfa gezintisi.

Uzayda verilen bir noktadan belirli bir doğruya dik olarak geçen bir düzlemin denklemini bulma.

Kendimize aşağıdaki görevi belirleyelim.

Oxyz üç boyutlu bir uzayda sabit olsun, bir nokta, bir a doğrusu verilsin ve a doğrusuna dik M 1 noktasından geçen düzlemin denklemini yazmak isteniyor.

İlk olarak, önemli bir gerçeği hatırlayalım.

geometri derslerinde lise bir teorem kanıtlanmıştır: tek bir düzlem, üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan belirli bir çizgiye dik olarak geçer (bu teoremin kanıtını, makalenin sonundaki referanslar listesinde belirtilen 10-11. Sınıflar için geometri ders kitabında bulabilirsiniz).

Şimdi verilen bir doğruya dik olarak verilen bir noktadan geçen bu tek düzlemin denkleminin nasıl bulunduğunu göstereceğiz.

Problem koşulunda, uçağın içinden geçtiği M 1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatları verilmiştir. Daha sonra düzlemin normal vektörünün koordinatlarını bulursak, verilen doğruya dik olarak verilen noktadan geçen düzlemin gerekli denklemini oluşturabiliriz.

Belirli bir doğruya dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini derleme örnekleri.

Uzayda belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye dik olarak geçen bir düzlemin denkleminin bulunduğu birkaç örneğin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Oz koordinat doğrusuna dik olan ve noktadan geçen düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm.

Oz koordinat çizgisinin yön vektörü açıkça koordinat vektörüdür. O halde denklemini oluşturmamız gereken düzlemin normal vektörünün koordinatları vardır. Bir noktadan geçen ve normal vektöre sahip bir düzlemin denklemini koordinatlarla yazalım:
.

Bu sorunu çözmenin ikinci yolunu gösterelim.

Oz koordinat doğrusuna dik olan düzlem, form düzleminin tamamlanmamış bir genel denklemini tanımlar. Bu noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyarak uçağın noktadan geçtiği C ve D değerlerini bulalım: . Böylece, C ve D sayıları ilişki ile ilişkilidir. C=1 alarak D=-5 elde ederiz. Bulunan C=1 ve D=-5'i denkleme koyarak Oz doğrusuna dik olan ve noktasından geçen düzlemin istenilen denklemini elde ederiz. gibi görünüyor.

Cevap:

Örnek.

Orijinden geçen ve doğruya dik olan bir düzlemin denklemini yazınız. .

Çözüm.

Denklemini bulmamız gereken düzlem doğruya dik olduğundan , o zaman düzlemin normal vektörü, verilen düz çizginin yönlendirici vektörü olarak alınabilir. Daha sonra . Geriye noktadan geçen ve normal bir vektöre sahip olan düzlemin denklemini yazmak kalıyor. : . Bu, verilen doğruya dik orijinden geçen düzlemin istenen denklemidir.

Cevap:

.

Örnek.

İki nokta ve üç boyutlu uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde verilmiştir. Uçak A noktasından AB doğrusuna dik olarak geçer. Düzlem denklemini parçalar halinde yazınız.

Çözüm.

Bir noktadan geçen ve normal düzlem vektörüne sahip bir düzlemin genel denklemi , şeklinde yazılacaktır.

Parçalar halinde düzlemin gerekli denklemine geçmek için kalır:

.

Cevap:

.

Sonuç olarak, belirli bir noktadan geçen ve belirli iki kesişen düzleme dik olan bir düzlemin denklemini yazmanın gerekli olduğu problemler olduğunu not ediyoruz. Aslında, kesişen iki düzlem bir doğruyu tanımladığından, bu sorunun çözümü belirli bir noktadan belirli bir doğruya dik olarak geçen bir düzlemin denkleminin oluşturulmasına indirgenmiştir. Bu durumda asıl zorluk, denkleminin oluşturulması gereken düzlemin normal vektörünün koordinatlarını bulma işlemidir.

Bu nedenle, vektör a doğrusuna dik düzlemin normal vektörüdür. noktasından geçen düzlemin denklemini yazalım. ve normal bir vektöre sahip olmak :
.

Bu, belirli bir düz çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin istenen denklemidir.

Cevap:

.

Kaynakça.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7 - 9. Sınıflar: eğitim kurumları için bir ders kitabı.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Lise 10-11. sınıflar için ders kitabı.
• Pogorelov A.V., Geometri. Eğitim kurumlarının 7-11. sınıfları için ders kitabı.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci Cilt: Doğrusal Cebirin ve Analitik Geometrinin Öğeleri.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.

Bu makale, üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denkleminin belirli bir doğruya dik olarak nasıl yazılacağı hakkında bir fikir vermektedir. Tipik problemleri çözme örneğini kullanarak yukarıdaki algoritmayı analiz edelim.

Uzayda belirli bir noktadan belirli bir doğruya dik olarak geçen bir düzlemin denklemini bulma

Üç boyutlu bir uzay ve içinde O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verilsin. M 1 (x 1, y 1, z 1) noktası, a düz çizgisi ve a düz çizgisine dik M 1 noktasından geçen α düzlemi de verilmiştir. α düzleminin denklemini yazmak gerekir.

Bu problemi çözmeye geçmeden önce, 10 - 11. sınıflar için programdaki geometri teoremini hatırlayalım, bu teorem şöyledir:

tanım 1

Tek bir düzlem, üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçer ve belirli bir çizgiye diktir.

Şimdi başlangıç ​​noktasından geçen ve verilen doğruya dik olan bu tek düzlemin denklemini nasıl bulacağınızı düşünün.

Bir düzlemin normal vektörünün koordinatlarının yanı sıra bu düzleme ait bir noktanın koordinatları biliniyorsa, bir düzlemin genel denklemini yazmak mümkündür.

Problemin durumuna göre, α düzleminin içinden geçtiği M 1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatları verilmiştir. α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını belirlersek, istenen denklemi yazabiliriz.

α düzleminin normal vektörü, sıfır olmadığı ve α düzlemine dik a doğrusu üzerinde bulunduğu için, a doğrusuna yön veren herhangi bir vektör olacaktır. Böylece, α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını bulma problemi, a düz çizgisini yönlendiren vektörün koordinatlarını belirleme problemine dönüşür.

Düz çizgi a'nın yönlendirme vektörünün koordinatlarının belirlenmesi farklı yöntemlerle gerçekleştirilebilir: başlangıç ​​koşullarında düz çizgi a'nın ayar varyantına bağlıdır. Örneğin, problemin koşulundaki a çizgisi, formun kanonik denklemleri tarafından verilirse

x - x 1 bir x = y - y 1 bir y = z - z 1 bir z

veya formun parametrik denklemleri:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ z = z 1 + bir z λ

o zaman düz çizginin yönlendirme vektörü a x, a y ve a z koordinatlarına sahip olacaktır. Düz çizgi a'nın M 2 (x 2, y 2, z 2) ve M 3 (x 3, y 3, z 3) olmak üzere iki nokta ile temsil edilmesi durumunda, yön vektörünün koordinatları (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2) olarak belirlenir.

Tanım 2

Belirli bir noktadan belirli bir doğruya dik olarak geçen bir düzlemin denklemini bulmak için algoritma:

Düz çizgi a'nın yönlendirme vektörünün koordinatlarını belirleyin: bir → = (bir x, bir y, bir z) ;

α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatları olarak tanımlarız:

n → = (A , B , C) , burada A = a x , B = a y , C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve normal bir vektöre sahip olan düzlemin denklemini yazıyoruz. n→=(A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şeklinde. Bu, uzayda belirli bir noktadan geçen ve belirli bir doğruya dik olan bir düzlemin gerekli denklemi olacaktır.

Uçağın ortaya çıkan genel denklemi: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0, düzlemin parçalar halinde denklemini veya düzlemin normal denklemini elde etmeyi mümkün kılar.

Yukarıda elde edilen algoritmayı kullanarak bazı örnekleri çözelim.

örnek 1

Düzlemin içinden geçtiği bir M 1 (3, - 4, 5) noktası verilir ve bu düzlem Oz koordinat çizgisine diktir.

Çözüm

O z koordinat çizgisinin yön vektörü, k ⇀ = (0 , 0 , 1) koordinat vektörü olacaktır. Bu nedenle, düzlemin normal vektörünün koordinatları vardır (0 , 0 , 1) . Normal vektörünün koordinatları (0, 0, 1) olan belirli bir M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazalım :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Cevap: z - 5 = 0 .

Bu sorunu çözmenin başka bir yolunu düşünün:

Örnek 2

O z doğrusuna dik olan bir düzlem, С z + D = 0 , C ≠ 0 , şeklindeki düzlemin tamamlanmamış bir genel denklemi ile verilecektir . C ve D değerlerini tanımlayalım: uçağın belirli bir noktadan geçtiği değerler. C z + D = 0 denkleminde bu noktanın koordinatlarını değiştirin, şunu elde ederiz: C · 5 + D = 0 . Onlar. sayılar, C ve D - DC = 5 ile ilişkilidir. C \u003d 1 alarak D \u003d - 5 elde ederiz.

Bu değerleri C z + D = 0 denkleminde yerine koyun ve O z doğrusuna dik olan ve M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlem için gerekli denklemi elde edin.

Şöyle görünecektir: z - 5 = 0.

Cevap: z - 5 = 0 .

Örnek 3

Orijinden geçen ve x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 doğrusuna dik olan bir düzlem için bir denklem yazın

Çözüm

Problemin koşullarına bağlı olarak, belirli bir düz çizginin kılavuz vektörünün, belirli bir düzlemin normal vektörü n → olarak alınabileceği tartışılabilir. Böylece: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) noktasından geçen ve n → \u003d (- 3, - 7, 2) normal vektörüne sahip bir düzlemin denklemini yazalım :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Verilen doğruya dik orijinden geçen düzlem için gerekli denklemi elde ettik.

Cevap:- 3x - 7y + 2z = 0

Örnek 4

Üç boyutlu uzayda O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verildiğinde, A (2 , - 1 , - 2) ve B (3 , - 2 , 4) olmak üzere iki nokta içerir. α düzlemi A noktasından AB doğrusuna dik olarak geçmektedir α düzleminin denklemini doğru parçalar halinde oluşturmak gerekmektedir.

Çözüm

α düzlemi A B doğrusuna diktir, o zaman A B → vektörü α düzleminin normal vektörü olacaktır. Bu vektörün koordinatları, B (3, - 2, 4) ve A (2, - 1, - 2) noktalarının karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak belirlenir:

AB → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ AB → = (1 , - 1 , 6)

Uçağın genel denklemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Şimdi segmentlerde düzlemin istenen denklemini oluşturuyoruz:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Cevap:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ayrıca, belirli bir noktadan geçen ve verilen iki düzleme dik olan bir düzlem için bir denklem yazma gereksinimi olan problemler olduğu da belirtilmelidir. Genel olarak, bu sorunun çözümü, belirli bir noktadan belirli bir doğruya dik olarak geçen bir düzlem için bir denklem yazmaktır, çünkü kesişen iki düzlem düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 5

Dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilir, içinde bir nokta vardır M 1 (2, 0, - 5) . a düz çizgisi boyunca kesişen iki düzlemin (3 x + 2 y + 1 = 0 ve x + 2 z - 1 = 0) denklemleri de verilmiştir. a doğrusuna dik M 1 noktasından geçen bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

Düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim a . Hem n → (1 , 0 , 2) düzleminin n 1 → (3 , 2 , 0) normal vektörüne hem de x + 2 z - 1 = 0 düzleminin 3 x + 2 y + 1 = 0 normal vektörüne diktir.

Sonra yönlendirme vektörü α → düz çizgi a, n 1 → ve n 2 → vektörlerinin vektör çarpımını alırız:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 ben → - 6 j → - 2 k → ⇒ bir → = (4 , - 6 , - 2)

Böylece n → = (4, - 6, - 2) vektörü, a doğrusuna dik düzlemin normal vektörü olacaktır. Uçağın istenen denklemini yazıyoruz:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Uçağın genel denklemini elde etmek için, belirli bir noktadan geçen düzlemi analiz ederiz.

Uzayda zaten bildiğimiz üç koordinat ekseni olsun - Öküz, Oy Ve Öz. Kağıdı düz kalacak şekilde tutun. Düzlem, sayfanın kendisi ve her yöne devamı olacaktır.

İzin vermek P uzayda keyfi düzlem. kendisine dik olan herhangi bir vektöre denir. normal vektör bu uçağa. Doğal olarak sıfır olmayan bir vektörden bahsediyoruz.

Eğer düzlemin herhangi bir noktası biliniyorsa P ve ona normalin bir vektörü, o zaman bu iki koşulla uzaydaki düzlem tamamen belirlenir(belirli bir noktadan, belirli bir vektöre dik olan yalnızca bir düzlem vardır). Uçağın genel denklemi şöyle görünecektir:

Yani uçağın denklemini belirleyen koşullar var. kendine almak için düzlem denklemi, yukarıdaki forma sahip olan uçağa biniyoruz P keyfi nokta M değişken koordinatlı X, y, z. Bu nokta, yalnızca şu durumlarda düzleme aittir: vektör vektöre dik(Şek. 1). Bunun için vektörlerin dik olma şartına göre bu vektörlerin skaler çarpımlarının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir yani

Vektör koşul tarafından verilir. Vektörün koordinatlarını formülle buluyoruz :

.

Şimdi, vektörlerin iç çarpım formülünü kullanarak , skaler çarpımı koordinat biçiminde ifade ederiz:

noktadan beri M(x;y;z) düzlemde keyfi olarak seçilirse, son denklem düzlem üzerinde uzanan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanır P. nokta için N, belirli bir düzlemde yatmamak, yani eşitlik (1) ihlal edilir.

örnek 1 Bir noktadan geçen ve bir vektöre dik olan düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm. Formül (1) kullanıyoruz, tekrar bakın:

Bu formülde sayılar A , B Ve C vektör koordinatları ve sayıları X0 , y0 Ve z0 - nokta koordinatları.

Hesaplamalar çok basit: bu sayıları formülde yerine koyuyoruz ve

Çarpılması gereken her şeyi çarparız ve sadece sayıları (harfsiz olan) toplarız. Sonuç:

.

Bu örnekte uçağın gerekli denkleminin, değişken koordinatlara göre birinci derecenin genel denklemi ile ifade edildiği ortaya çıktı. x, y, z uçağın keyfi noktası.

Yani, formun bir denklemi

isminde uçağın genel denklemi .

Örnek 2 Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde denklem tarafından verilen düzlemi oluşturun .

Çözüm. Bir düzlem inşa etmek için, örneğin, düzlemin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları gibi, tek bir düz çizgi üzerinde yer almayan herhangi üç noktasını bilmek gerekli ve yeterlidir.

Bu noktalar nasıl bulunur? Eksen ile kesişme noktasını bulmak için Öz, problem ifadesinde verilen denklemde x ve y yerine sıfırları koymanız gerekir: X = y= 0 Bu nedenle, z= 6 Böylece, verilen düzlem ekseni keser Öz noktada A(0; 0; 6) .

Aynı şekilde düzlemin eksenle kesişme noktasını da buluyoruz. Oy. -de X = z= 0 elde ederiz y= −3 , yani bir nokta B(0; −3; 0) .

Ve son olarak uçağımızın eksen ile kesişme noktasını buluyoruz. Öküz. -de y = z= 0 elde ederiz X= 2 , yani bir nokta C(2; 0; 0) . Çözümümüzde elde edilen üç noktaya göre A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) ve C(2; 0; 0) verilen düzlemi oluşturuyoruz.

Şimdi düşünün uçağın genel denkleminin özel durumları. Bunlar, belirli denklem katsayılarının (2) ortadan kalktığı durumlardır.

1. Ne zaman d= 0 denklem bir noktanın koordinatları olduğundan, orijinden geçen bir düzlemi tanımlar 0 (0; 0; 0) bu denklemi sağlar.

2. Ne zaman bir= 0 denklem eksene paralel bir düzlem tanımlar Öküz, çünkü bu düzlemin normal vektörü eksene diktir Öküz(eksen üzerindeki izdüşümü Öküz sıfıra eşittir). Benzer şekilde, ne zaman B= 0 uçak eksen paralel Oy, ve ne zaman Ç= 0 uçak eksene paralel Öz.

3. Ne zaman A=D= 0 denklemi, eksenden geçen bir düzlemi tanımlar Öküz eksene paralel olduğu için Öküz (bir=d= 0). Benzer şekilde, düzlem eksenden geçer Oy ve eksen boyunca düzlem Öz.

4. Ne zaman A=B= 0 denklemi, koordinat düzlemine paralel bir düzlem tanımlar xOy eksenlere paralel olduğu için Öküz (A= 0) ve Oy (B= 0). Aynı şekilde düzlem düzleme paraleldir yOz ve uçak - uçak xOz.

5. Ne zaman A=B=D= 0 denklem (veya z= 0) koordinat düzlemini tanımlar xOy düzleme paralel olduğu için xOy (A=B= 0) ve orijinden geçer ( d= 0). Benzer şekilde, denklem y= Uzayda 0, koordinat düzlemini tanımlar xOz ve denklem x= 0 - koordinat düzlemi yOz.

Örnek 3 Düzlem denklemini oluşturun P eksenden geçen Oy ve nokta .

Çözüm. Yani düzlem eksenden geçer Oy. Yani onun denkleminde y= 0 ve bu denklem formuna sahiptir. Katsayıları belirlemek için A Ve C noktanın düzleme ait olduğu gerçeğini kullanırız P .

Bu nedenle, koordinatları arasında, daha önce türettiğimiz () düzlem denkleminde ikame edilebilecek olanlar vardır. Noktanın koordinatlarına tekrar bakalım:

M0 (2; −4; 3) .

Aralarında X = 2 , z= 3 Bunları genel denklemde yerine koyarız ve özel durumumuz için denklemi elde ederiz:

2A + 3C = 0 .

2 bırakıyoruz A denklemin sol tarafında 3 aktarıyoruz C sağ tarafa ve biz alırız

A = −1,5C .

Bulunan değeri değiştirme A denklemde, elde ederiz

veya .

Bu, örnek koşulda gereken denklemdir.

Uçağın denklemlerindeki sorunu kendiniz çözün ve sonra çözüme bakın

Örnek 4 Düzlemi (veya birden fazlaysa düzlemleri) koordinat eksenlerine veya düzlem(ler) denklemle veriliyorsa koordinat düzlemlerine göre belirleyin.

Tipik sorunlara çözümler kontrol işi- "Uçaktaki görevler: paralellik, diklik, üç düzlemin bir noktada kesişimi" kılavuzunda .

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Daha önce bahsedildiği gibi, bir düzlem oluşturmak için bir nokta ve bir normal vektöre ek olarak gerekli ve yeterli koşul, aynı düz çizgi üzerinde olmayan üç noktadır.

Aynı doğru üzerinde olmayan , ve , üç farklı nokta verilsin. Bu üç nokta tek bir düz çizgi üzerinde bulunmadığından, vektörler ve doğrusal değildir ve bu nedenle düzlemin herhangi bir noktası noktalarla aynı düzlemde bulunur ve ancak ve ancak vektörler , ve eş düzlemli, yani ancak ve ancak bu vektörlerin karışık ürünü sıfıra eşittir.

Karışık çarpım ifadesini koordinatlarda kullanarak düzlem denklemini elde ederiz.

(3)

Determinantı genişlettikten sonra, bu denklem (2) formunun bir denklemi haline gelir, yani uçağın genel denklemi.

Örnek 5 Düz bir çizgi üzerinde olmayan verilen üç noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

ve varsa doğrunun genel denkleminin belirli bir durumunu belirlemek.

Çözüm. Formül (3)'e göre elimizde:

Düzlemin normal denklemi. Noktadan düzleme mesafe

Bir düzlemin normal denklemi, şeklinde yazılan denklemidir.