Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku okomita na datu pravu. Jednačine u ravni: opće, kroz tri tačke, normalne Napisati jednačine u ravni

Posmatrajmo ravan Q u prostoru. Njen položaj je potpuno određen specificiranjem vektora N okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke koja leži u ravni Q. Vektor N okomit na ravan Q naziva se vektor normale ove ravni. Ako sa A, B i C označimo projekcije vektora normale N, onda

Izvedemo jednačinu ravni Q koja prolazi kroz datu tačku i ima dat vektor normale. Da biste to uradili, razmotrite vektor koji povezuje tačku sa proizvoljnom tačkom ravni Q (slika 81).

Za bilo koju poziciju tačke M na ravni Q, vektor MXM je okomit na vektor normale N ravni Q. Dakle, skalarni proizvod Zapišimo skalarni proizvod u terminima projekcija. Budući da , i vektor , onda

i stoga

Pokazali smo da koordinate bilo koje tačke Q ravni zadovoljavaju jednačinu (4). Lako je vidjeti da koordinate tačaka koje ne leže u ravni Q ne zadovoljavaju ovu jednačinu (u drugom slučaju, ). Dakle, dobili smo traženu jednačinu ravni Q. Jednačina (4) se naziva jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku. Ona je prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate

Dakle, pokazali smo da bilo kojoj ravni odgovara jednačina prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate.

Primjer 1. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor.

Rješenje. Evo. Na osnovu formule (4) dobijamo

ili, nakon pojednostavljenja,

Davanjem različitih vrijednosti koeficijentima A, B i C jednačine (4), možemo dobiti jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku . Skup ravnina koje prolaze kroz datu tačku naziva se skup ravnina. Jednačina (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koju vrijednost, naziva se jednačina snopa ravnina.

Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri tačke, (slika 82).

Rješenje. Napišimo jednačinu za gomilu ravnina koje prolaze kroz tačku

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2 date respektivno jednadžbama:

Ispod kutak između dvije ravni mislimo na jedan od diedarskih uglova koji formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zbog toga . Jer I , To

.

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov paralelnosti dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Dakle, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA DIRECT.

PARAMETRSKE JEDNAČINE DIRECT

Položaj prave linije u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Vektor paralelan pravoj liniji naziva se vođenje vektor ove linije.

Pa pusti pravo l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. Pokazuje da je svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M ležeći na pravoj liniji.

Ovu jednačinu zapisujemo u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski pravolinijske jednačine.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y I z i tačka M kreće se pravolinijski.

DIREKTNE KANONIČKE JEDNAČINE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - tačka koja leži na pravoj liniji l, And je njegov vektor smjera. Opet, uzmite proizvoljnu tačku na pravoj liniji M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, tako da njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle

– kanonski pravolinijske jednačine.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe prave mogu dobiti iz parametarskih jednačina eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Napišite jednačinu prave linije na parametarski način.

Označite , dakle x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer, os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, dakle, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave imaju oblik

Eliminacija parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave linije u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, onda to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanonske jednačine odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox I Oy ili paralelne ose Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVA PRAVA KAO PRAVA presjeka DVIJE RAVNI

Kroz svaku pravu liniju u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, su jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni date općim jednačinama

odrediti njihovu liniju ukrštanja. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu liniju datu jednadžbama

Da bi se konstruisao prava, dovoljno je pronaći bilo koje dve njene tačke. Najlakši način je da izaberete tačke preseka prave sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na liniji i vektor smjera linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Dakle, za vektor smjera prave linije l možete uzeti unakrsni proizvod normalnih vektora:

.

Primjer. Dajte opće jednačine prave linije kanonskom obliku.

Pronađite tačku na pravoj liniji. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. dakle, l: .

UGAO IZMEĐU PRAVA

kutak između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

U ovom članku ćemo govoriti o tome kako je jednadžba ravnine koja prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru okomita na datu pravu liniju. Prvo ćemo analizirati princip nalaženja jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu liniju, nakon čega ćemo detaljno analizirati rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Navigacija po stranici.

Pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru okomito na datu pravu.

Postavimo sebi sljedeći zadatak.

Neka je Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, data je tačka, prava a, a potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na pravu a.

Prvo, prisjetimo se jedne važne činjenice.

Na časovima geometrije srednja škola dokazana je teorema: jedna ravan prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru, okomito na datu pravu (dokaz ove teoreme možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10.-11. razred, naznačen na listi literature na kraj članka).

Sada ćemo pokazati kako se nalazi jednadžba ove pojedinačne ravni koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu.

U uslovu zadatka date su nam koordinate x 1, y 1, z 1 tačke M 1 kroz koju prolazi ravan. Zatim, ako pronađemo koordinate vektora normale ravnine, tada možemo sastaviti traženu jednačinu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.

Primjeri sastavljanja jednadžbe ravni koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu liniju.

Razmotrimo rješenja nekoliko primjera u kojima se nalazi jednadžba ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru okomito na datu pravu liniju.

Primjer.

Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku i okomita je na koordinatnu pravu Oz.

Rješenje.

Vektor smjera koordinatne linije Oz je očito koordinatni vektor . Tada vektor normale ravni, čiju jednačinu trebamo sastaviti, ima koordinate. Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku i ima normalan vektor sa koordinatama:
.

Pokažimo drugi način rješavanja ovog problema.

Ravan okomita na koordinatnu liniju Oz definira nepotpunu opću jednadžbu ravnine oblika . Nađimo vrijednosti C i D u kojima ravan prolazi kroz tačku zamjenom koordinata ove tačke u jednadžbu: . Dakle, brojevi C i D su povezani relacijom . Uzimajući C=1, dobijamo D=-5. Pronađene C=1 i D=-5 zamjenjujemo u jednačinu i dobijamo željenu jednačinu ravnine okomite na pravu Oz i koja prolazi kroz tačku . Izgleda .

odgovor:

Primjer.

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravu .

Rješenje.

Pošto je ravan čiju jednačinu treba da dobijemo okomita na pravu , tada se vektor normale ravni može uzeti kao usmjeravajući vektor date prave linije. Onda . Ostaje da se napiše jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku i ima normalni vektor : . Ovo je željena jednačina ravnine koja prolazi kroz ishodište okomito na datu pravu.

odgovor:

.

Primjer.

Dve tačke i su date u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru. Ravan prolazi tačkom A okomito na pravu AB. Napišite jednadžbu ravnine u segmentima.

Rješenje.

Opšta jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku i ima vektor normalne ravni , biće napisano kao .

Ostaje prijeći na traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

.

odgovor:

.

U zaključku, napominjemo da postoje zadaci u kojima je potrebno napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku i okomita je na dvije date ravnine koje se sijeku. Zapravo, rješenje ovog problema se svodi na sastavljanje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju, budući da dvije ravni koje se seku definiraju pravu liniju. U ovom slučaju, glavna poteškoća je proces pronalaženja koordinata vektora normale ravnine, čiju jednadžbu treba sastaviti.

Dakle, vektor je vektor normale ravni okomita na pravu a . Napišimo jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku i imaju normalan vektor :
.

Ovo je željena jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.

odgovor:

.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za 7-11 razred obrazovnih ustanova.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Ovaj članak daje ideju o tome kako napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru okomito na datu pravu. Analizirajmo gornji algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru okomito na datu pravu

Neka su u njemu dati trodimenzionalni prostor i pravougaoni koordinatni sistem O x y z. Date su i tačka M 1 (x 1, y 1, z 1), prava a i ravan α koja prolazi kroz tačku M 1 okomita na pravu a. Potrebno je zapisati jednačinu ravni α.

Pre nego što pređemo na rešavanje ovog problema, podsetimo se teoreme geometrije iz programa za 10. - 11. razred, koja glasi:

Definicija 1

Jedna ravan prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru i okomita je na datu pravu.

Sada razmislite kako pronaći jednadžbu ove pojedinačne ravni koja prolazi kroz početnu tačku i okomita na datu pravu.

Opću jednačinu ravni je moguće napisati ako su poznate koordinate tačke koja pripada ovoj ravni, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uslovom zadatka date su nam koordinate x 1, y 1, z 1 tačke M 1 kroz koju prolazi ravan α. Ako odredimo koordinate vektora normale ravni α, tada ćemo moći napisati željenu jednačinu.

Normalni vektor ravni α, pošto je različit od nule i leži na pravoj a, okomito na ravan α, biće bilo koji usmeravajući vektor prave a. Dakle, problem nalaženja koordinata vektora normale ravni α transformiše se u problem određivanja koordinata usmeravajućeg vektora prave a .

Određivanje koordinata usmjeravajućeg vektora prave a može se izvršiti različitim metodama: ovisi o varijanti postavljanja prave a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u stanju problema dat kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tada će usmjeravajući vektor prave linije imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je prava a predstavljena sa dve tačke M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu:

Odredite koordinate vektora usmjeravanja prave a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravni α definiramo kao koordinate usmjeravajućeg vektora prave a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x , B = a y , C = a z;

Pišemo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalan vektor n→=(A, B, C) u obliku A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ovo će biti tražena jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru i okomita je na datu pravu.

Rezultirajuća opšta jednačina ravnine: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 omogućava dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednačine ravnine.

Rešimo neke primjere koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadata je tačka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravan, a ova ravan je okomita na koordinatnu pravu O z.

Rješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Dakle, vektor normale ravni ima koordinate (0 , 0 , 1) . Napišimo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku M 1 (3, - 4, 5) čiji vektor normale ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odgovor: z - 5 = 0 .

Razmotrite još jedan način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravan koja je okomita na pravu O z će biti data nepotpunom opštom jednačinom ravnine oblika C z + D = 0 , C ≠ 0 . Definirajmo vrijednosti C i D: one za koje ravan prolazi kroz datu tačku. Zamenimo koordinate ove tačke u jednačinu C z + D = 0 , dobićemo: C · 5 + D = 0 . One. brojevi, C i D su povezani sa - D C = 5 . Uzimajući C \u003d 1, dobijamo D \u003d - 5.

Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijete traženu jednačinu za ravan okomitu na pravu O z i koja prolazi kroz tačku M 1 (3, - 4, 5) .

Izgledaće ovako: z - 5 = 0.

odgovor: z - 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište i okomita na pravu x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Rješenje

Na osnovu uslova zadatka, može se tvrditi da se vodeći vektor date prave linije može uzeti kao normalni vektor n → date ravni. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku O (0, 0, 0) i ima normalni vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište okomito na datu pravu.

odgovor:- 3x - 7y + 2z = 0

Primjer 4

Dat pravougaoni koordinatni sistem O x y z u trodimenzionalnom prostoru, sadrži dve tačke A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4) . Ravan α prolazi kroz tačku A okomitu na pravu AB. Potrebno je sastaviti jednačinu ravni α u segmentima.

Rješenje

Ravan α je okomita na pravu A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravni α. Koordinate ovog vektora određuju se kao razlika između odgovarajućih koordinata tačaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednačina ravnine će se napisati u sljedećem obliku:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavljamo željenu jednačinu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev da se napiše jednačina za ravan koja prolazi kroz datu tačku i okomita je na dvije date ravni. Općenito, rješenje ovog problema je pisanje jednadžbe za ravan koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu, jer dve ravni koje se seku definišu pravu liniju.

Primjer 5

Dat je pravougaoni koordinatni sistem O x y z, u njemu je tačka M 1 (2, 0, - 5) . Date su i jednadžbe dvije ravni 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0, koje se sijeku duž prave a . Potrebno je sastaviti jednačinu za ravan koja prolazi tačkom M 1 okomito na pravu a.

Rješenje

Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave a . On je okomit i na vektor normale n 1 → (3 , 2 , 0) ravni n → (1 , 0 , 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 u ravni x + 2 z - 1 = 0 .

Tada usmjeravajući vektor α → prava a uzimamo vektorski proizvod vektora n 1 → i n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tako će vektor n → = (4, - 6, - 2) biti vektor normale ravni okomite na pravu a. Zapisujemo željenu jednačinu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo dobili opštu jednačinu ravni, analiziramo ravan koja prolazi kroz datu tačku.

Neka postoje tri koordinatne ose koje su nam već poznate u svemiru - Ox, Oy I Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravan će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka P proizvoljna ravan u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru koji nije nula.

Ako je poznata neka tačka ravnine P i neki vektor normale na njega, tada je ova dva uslova ravan u prostoru potpuno određena(kroz datu tačku postoji samo jedna ravan okomita na dati vektor). Opća jednačina ravnine će izgledati ovako:

Dakle, postoje uslovi koji postavljaju jednačinu ravni. Da ga dobijem sam ravan jednadžba, koji ima gornji oblik, uzimamo u avion P proizvoljno tačka M sa promenljivim koordinatama x, y, z. Ova tačka pripada ravni samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uslovu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni proizvod ovih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je zadan uslovom. Koordinate vektora nalazimo po formuli :

.

Sada, koristeći formulu dot proizvoda vektora , izražavamo skalarni proizvod u koordinatnom obliku:

Od tačke M(x; y; z) je proizvoljno odabran na ravni, tada je posljednja jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke koja leži na ravni P. Za poen N, ne leži na datoj ravni, , tj. jednakost (1) je narušena.

Primjer 1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku i okomita je na vektor.

Rješenje. Koristimo formulu (1), pogledajte je ponovo:

U ovoj formuli, brojevi A , B I C vektorske koordinate i brojeve x0 , y0 I z0 - koordinate tačke.

Izračuni su vrlo jednostavni: ove brojeve zamjenjujemo u formulu i dobivamo

Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji su bez slova). rezultat:

.

Pokazalo se da je tražena jednačina ravnine u ovom primjeru izražena opštom jednadžbom prvog stepena u odnosu na promjenjive koordinate x, y, z proizvoljna tačka ravni.

Dakle, jednačina oblika

pozvao opšta jednačina ravni .

Primjer 2 Konstruisati u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ravan zadatu jednačinom .

Rješenje. Za konstruisanje ravni potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njene tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, na primer, tačke preseka ravnine sa koordinatnim osa.

Kako pronaći ove tačke? Da se pronađe tačka preseka sa osom Oz, trebate zamijeniti nule umjesto x i y u jednadžbi datoj u izjavi problema: x = y= 0 . Dakle, dobijamo z= 6 . Dakle, data ravan seče osu Oz u tački A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo tačku presjeka ravnine sa osom Oy. At x = z= 0 dobijamo y= −3 , odnosno tačka B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo tačku preseka naše ravni sa osom Ox. At y = z= 0 dobijamo x= 2, odnosno tačka C(2; 0; 0) . Prema tri boda dobijene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) gradimo datu ravan.

Razmislite sada specijalni slučajevi opšte jednačine ravnine. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednačine (2) nestanu.

1. Kada D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate tačke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednačinu.

2. Kada A= 0 jednačina definira ravan paralelnu osi Ox, budući da je vektor normale ove ravni okomit na osu Ox(njegova projekcija na os Ox jednako nuli). Slično, kada B= 0 avion osa paralelna Oy, i kada C= 0 avion paralelno sa osom Oz.

3. Kada A=D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz osu Ox jer je paralelna sa osom Ox (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz osu Oy, i ravan kroz osu Oz.

4. Kada A=B= 0 jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj ravni xOy jer je paralelan sa osama Ox (A= 0) i Oy (B= 0). Isto tako, ravan je paralelna sa ravninom yOz, a avion - avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednačina (ili z= 0) definira koordinatnu ravan xOy, pošto je paralelna sa ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Slično, jednačina y= 0 u prostoru definira koordinatnu ravan xOz, i jednadžba x= 0 - koordinatna ravan yOz.

Primjer 3 Sastavite jednačinu ravnine P prolazeći kroz osu Oy i tačka.

Rješenje. Dakle, ravan prolazi kroz osu Oy. Dakle, u njenoj jednačini y= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A I C koristimo činjenicu da tačka pripada ravni P .

Dakle, među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine koju smo već izveli (). Pogledajmo još jednom koordinate tačke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3 . Zamjenjujemo ih u opću jednačinu i dobivamo jednačinu za naš konkretni slučaj:

2A + 3C = 0 .

Odlazimo 2 A na lijevoj strani jednačine prenosimo 3 C na desnu stranu i dobiti

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednačinu , dobijamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u primjeru stanja.

Sami riješite problem na jednačinama ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Odredite ravninu (ili ravnine ako ih je više od jedne) u odnosu na koordinatne ose ili koordinatne ravni ako su ravnine date jednadžbom .

Rješenja tipičnih problema koji su kontrolni rad- u priručniku "Zadaci na ravni: paralelizam, okomitost, presek tri ravni u jednoj tački" .

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke

Kao što je već pomenuto, neophodan i dovoljan uslov za konstruisanje ravni, pored jedne tačke i normalnog vektora, su i tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj.

Neka postoji tri različite točke , I , Ne leži na istoj pravoj liniji. Budući da ove tri točke ne leže na jednoj pravoj liniji, vektori i nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka ravnine leži u istoj ravni s točkama , i ako i samo ako su vektori , i komplanarno, tj. ako i samo ako mješoviti proizvod ovih vektora jednako nuli.

Koristeći izraz mješovitog proizvoda u koordinatama, dobijamo jednadžbu ravnine

(3)

Nakon proširenja determinante, ova jednačina postaje jednačina oblika (2), tj. opšta jednačina ravni.

Primjer 5 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na pravoj liniji:

i da se odredi poseban slučaj opće jednadžbe prave, ako postoji.

Rješenje. Prema formuli (3) imamo:

Normalna jednačina ravnine. Udaljenost od tačke do ravni

Normalna jednačina ravni je njena jednačina, zapisana u obliku